2.5 等比数列的前 n 项和1．理解并掌握等比数列前 n 项和公式及其推导方法．2．能利用等比数列的前 n 项和公式解决有关问题．3．掌握等比数列前 n 项和的性质及应用．等比数列的前 n 项和公式数列{an}是公比为 q 的等比数列，则当 q＝1 时，Sn＝____；当 q≠1 时，Sn＝＝________.(1)在运用等比数列的前 n 项和公式时，一定要注意对公比 q 的讨论(q＝1 或 q≠1)．(2)当 q≠1 时，若已知 a1及 q，则用公式 Sn＝较好；若已知 an，则用公式 Sn＝较好．【做一做】 等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝2，则 Sn等于( )A．n2＋n B．n2－n C．2n＋1－2 D．2n－1答案：na1 【做一做】 C1．等比数列的前 n 项和公式与函数的关系剖析：①当公比 q≠1 时，我们已经求得等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝，它可以变形为 Sn＝－·qn＋，设 A＝，上式可写成 Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前 n项和 Sn是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1，是 n 的正比例函数．② 当 q≠1 时，数列 S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数 y＝－Aqx＋A 图象上的一群孤立的点．当 q＝1 时，数列 S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数 y＝a1x 图象上的一群孤立的点．2．等比数列前 n 项和的性质剖析：等比数列{an}的公比为 q，则有：(1) 性 质 1 ： 若 某 数 列 的 前 n 项 和 公 式 为 Sn ＝ － A·qn ＋ A(A≠0 ， q≠0 且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(2)性质 2：在等比数列中，间隔相等、连续等长的片段和序列成等比数列．即 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为 qn(q≠－1)．在运用性质(2)时，要注意的是 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，而 Sm，S2m，S3m不一定成等比数列．(3)性质 3：在等比数列{an}中，当总项数为 2n 时，S 偶＝qS 奇．(4)性质 4：在等比数列{an}中，公比为 q，则 a1·a2·a3·…·an＝a·＝，(5)性质 5：Sn＋m＝Sn＋qnSm.推导如下：设首项为 a1，公比为 q.若 q＝1，显然成立．若 q≠1，则 Sm＋n＝，Sn＝，Sm＝，∴Sn＋qnSm＝(1－qn＋qn－qm＋n)＝(1－qm＋n)＝Sm＋n.此性质还可推导如下：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋an＋m－1＋an＋m＝Sn＋a1·qn＋a2·qn＋a3·qn＋…＋am·qn＝Sn＋qn(a1＋a2＋...
