5.3 平面向量的数量积及其应用1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.两个向量的夹角(1)定义已知两个__________向量 a 和 b,作OA=a,OB=b,则__________称作向量 a 与向量 b 的夹角,记作〈a,b〉.(2)范围向量夹角〈a,b〉的范围是__________,且__________=〈b,a〉.(3)向量垂直如果〈a,b〉=__________,则 a 与 b 垂直,记作__________.2.平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义__________叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积),记作 a·b=__________.可见,a·b 是实数,可以等于正数、负数、零.其中|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影.(2)向量数量积的运算律①a·b=__________(交换律)②(a+b)·c=__________(分配律)③(λa)·b=__________=a·(λb)(数乘结合律).3.平面向量数量积的性质:已知非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2)性质几何表示坐标表示定义a·b=|a||b|cos〈a,b〉a·b=a1b1+a2b2模a·a=|a|2或|a|=|a|=若 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1)|AB|=a⊥b 的充要条件a·b=0a1b1+a2b2=0夹角cos〈a,b〉=(|a||b|≠0)cos〈a,b〉=|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||a1b1+a2b2|≤1.已知下列各式:①|a|2=a2;②=;③(a·b)2=a2b2;④(a-b)2=a2-2a·b+b2,其中正确的有( ).A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2.设向量 a=(1,0),b=,则下列结论中正确的是( ).A.|a|=|b| B.a·b=C.a∥b D.a-b 与 b 垂直3.已知 a=(1,-3),b=(4,6),c=(2,3),则(b·c)a 等于( ).A.(26,-78) B.(-28,-42)C.-52 D.-784.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2 且 a 与 b 的夹角为,则|a+b|=__________.15.已知|a|=2,|b|=4 且 a⊥(a-b),则 a 与 b 的夹角是__________.一、平面向量数量积的运算【例 1】 (1)在等边△ABC 中,D 为 AB 的中点,AB=5,求AB·BC,|CD|;(2)若 a=(3,-4),b=(2,1),求(a-2b)·(2a+3b)和|a+2b|.方法提炼平面向量的考查经常有两种:一是考查...