利用数形结合求解函数问题

利用"数形结合"求解函数问题摘要:"数形结合"思想方法是研究数学问题的重要方法，本文对中学数学中的函数问题谈谈如何运用"数形结合"的思想解题。关键词：数形结合、图形、函数著名的数学家华罗庚先生说过："数形结合千般好，数形分离万事休。"有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法。下面就函数的几个方面进行研究。1、 利用数形结合求函数的定义域面对求函数的定义域问题，有些人常常是顾此失彼，所以在看到题目后，首先的应该把所有使函数有意义的条件列出，待求出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来，再逐一判断，这样才能尽量避免失误，得出正确的答案。例 1：已知函数 f(x)的定义域是[a,b]其中 a<0b,求函数 g(x)=f(x)+f(-x)的定义域。分析：若 g(x)的定义域为 M,f(x)f(-x)的定义域分别为 A、B，则有 M=A∩B，利用数轴分析得知，阴影部分即为所求。如图解： 函数 f(x)的定义域为[a,b]∴a≤x≤b若使 f(x)e 有意义，必须有 a≤－x≤b，即有－b≤x≤－a a＜0＜b ∴－b＜0＜－a又 |a|＞b＞0 ∴.a＜－b∴函数 g(x)的定义域{x|a≤x≤b}∩{x|－b≤x≤－a}={x|－b≤x≤b}小结：这样的题目要是改为选择题，图形一画那就简单明了，不用解题，要是象上面的求解，画出图形有助于解题。2、利用数形结合求函数的值域对于一些给了的定义域求值域的函数，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于抽象或无从下手。但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，则达到事半功倍的效果。例 2．求函数 y=|x+3|－|x+1|的值域。分析：就自变量 x 的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得 y 的范围第 1 页 共 5 页A∩B 函数的图象如图，由图象即可得 y∈［－2，2］。小结：数形结合能将抽象的问题直观化、形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中要注意把握善于运用这种数学思想。3、利用数形结合求函数的单调区间例 3、设函数 f(x)=x2－2|x|－1 (－3≤x≤3).指出函数 f(x)的单调区间并说明在各个区间上 f(x)是增函数还是减函数。解：当 x≥0 时，f(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2 当 x＜0 时，f(x)=x2+2x－1=(x+1)2－2即 根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图函数 f(x)单调区间为［－3，－1），［－1，0），［0，1）， ［1，3］。由图形可看...