课时分层作业四十八利用向量求空间角和距离一、选择题(每小题5分,共25分)1
若直线l的方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于()A
60°或30°【解析】选C
设直线l与平面α所成的角为β,直线l与平面α的法向量的夹角为γ
则sinβ=|cosγ|=|cos120°|=
又因为0°≤β≤90°,所以β=30°
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面D1EF的距离为()A
【解析】选D
如图所示,以射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则G(1,λ,1),E,D1(0,0,1),F,=,=(0,1,0),=
过点G向平面D1EF作垂线,垂足为H,由于点H在平面D1EF内,故存在实数x,y,使=+x+y=,由于GH⊥EF,GH⊥ED1,所以解得故=,所以||=,即点G到平面D1EF的距离是
(2018·赣州模拟)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为()A
45°或135°D
90°【解析】选C
cos===,即=45°,其补角为135°
所以两平面所成的二面角为45°或135°
【变式备选】(2018·合肥模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A
【解析】选B
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1
则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),所以=(0,1,-1),=
设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),所以有即所以所以n1=(1,2,2)
