江苏省灌云县第一中学高中数学 1.1 正弦定理(1)学案 苏教版必修5教学目标：1. 掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2. 通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，培养学生的自主学习和自主探索能力；3. 提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣．教学重点：正弦定理及其证明过程．教学难点：正弦定理的推导和证明．教学过程：一、问题情境从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系．探索 1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在 Rt中，设，那么边角之间有哪些关系？，，，，，，，,,……探索 2 在 Rt中，我们得到，对于任意三角形，这个结论还成立吗？二、学生活动把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三角形是否成立．学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立．教师再通过几何画板软件进行验证（如图 1）．对于验证的结果不成立的情况，指出这是由于1测量的误差或者计算的错误造成的．引出课题——正弦定理．图 1三、建构数学探索 3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设为最大角，若为直角，我们已经证明结论成立，如何证明为锐角、钝角时结论成立？师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，进而探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下证法．证法一 若为锐角（图 2（1）），过点作于，此时有,，所以,即．同理可得,所以．cbDABC （1） 图 2 （2）若为钝角（图 2（2）），过点作，交的延长线于，此时有2，且，同理可得．综上可得，结论成立．证法二 利用三角形的面积转化，先作出三边上的高、、，则，，．所以= =，每项同时除以，得探索 4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法，我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在中，有，设为最大角，过点作于，（图 3），于是，设与的夹角为，则，其中，当为锐角或者直角时，；当为钝角时，．故可得，即．同理可得．因此．这里运用向量的数量积将向量等...
