高考数学总复习 专题五 立体几何 5.3 空间向量与立体几何精选刷题练 理试题VIP专享VIP免费

5.3空间向量与立体几何命题角度1空间位置关系证明与线面角求解高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)证明由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.可得PH=,EH=.则H(0,0,0),P,D为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为θ,则sinθ=.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.2.(2018全国Ⅱ·20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(1)证明因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.连接OB,因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)解如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).取平面PAC的法向量=(2,0,0),设M(a,2-a,0)(0=.由已知可得|cos<,n>|=.所以,解得a=-4(舍去),a=.所以n=.又=(0,2,-2),所以cos<,n>=.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.3.(2016全国Ⅲ·19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.(1)证明由已知得AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.又AD∥BC,故TN􀱀AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)解取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,且AE=.以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N=(0,2,-4),.设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则可取n=(0,2,1).于是|cos|=.4.(2015全国Ⅰ·18)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.(1)证明:平面AEC⊥平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.(1)证明连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由∠ABC=120°,可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC.在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=.在Rt△FDG中,可得FG=.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=.从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.(2)解如图,以G为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A(0,-,0),E(1,0,),F,C(0,,0),所以=(1,),.故cos<>==-.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.新题演练提能·刷高分1.(2018山东潍坊二模)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,∠ABC=120°.(1)证明:AD⊥A1B;(2)若平面ADD1A1⊥平面ABCD,且A1D=AB,求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值.(1)证明取AD中点O,连接OB,OA1,BD, AA1=A1D,∴AD⊥OA1.又∠ABC=120°,AD=AB,∴△ABD是等边三角形,∴AD⊥OB,∴AD⊥平面A1OB. A1B⊂平面A1OB,∴AD⊥A1B.(2)解 平面ADD1A1⊥平面ABCD,平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,又A1O⊥AD,∴A1O⊥平面ABCD,∴OA,OA1,OB两两垂直,以O为坐标原点,分别以OA,OB,OA1所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz,设AB=AD=A1D=2,则A(1,0,0),A1(0,0,),B(0,,0),D(-1,0,0).则=(1,0,),=(-1,,0),=(0,-),设平面A1B1CD的法向量n=(x,y,z),则令x=,则y=1,z=-1,可取n=(,1,-1),设直线BA1与平面A1B1CD所成角为θ,则sinθ=|cos|=.2.(2018辽宁抚顺一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥...