陕西省榆林市育才中学高中数学 2.3 空间向量的数量积导学案 新人教 A 版选修 2-1 学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题． 学习过程 一、课前准备复习 1：什么是平面向量与的数量积？ 复习 2：在边长为 1 的正三角形⊿ABC 中，求.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质 问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？ 新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 一点，作，则叫做向量与的夹角，记作 .试试：⑴ 范围: =0 时, ;=π 时, ⑵ 成立吗？ ⑶ ，则称与互相垂直，记作 .2) 向量的数量积：已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 .规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？⑵ （选 0 还是）⑶ 你能说出的几何意义吗？3) 空间向量数量积的性质： （1）设单位向量，则．（2） ．（3） ＝ .4) 空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）． （3）（分配律）反思：⑴ 吗？举例说明. ⑵ 若，则吗？举例说明. ⑶ 若，则吗？为什么？※ 典型例题例 1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.1变式 1：用向量方法证明：已知：是平面内的两条相交直线，直线 与平面的交点为，且.求证：． 例 2 如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值例 3 如图，在平行四边形 ABCD-A B C D 中，,,,==60°,求的长.※ 动手试试练 1. 已知向量满足，，，则____.练 2. , 则的夹角大小为_____.三、小结2DABC1..向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.※ 知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法 . ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 下列命题中：① 若，则，中至少一个为② 若且，则③④正确有个数为（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个2. 已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ）A. B. C. D. 3.已知中，所对的边为，且,,则= 4. 已知，，且和不共线，当 与的夹角是锐角时， 的取值范围是 .5. 已知向量满足，，，则____课后作业： 1. 已知空间四边形中，，，求证：.2. 已知线段 AB、BD 在平面内,BD⊥AB,线段,如果 AB＝a,BD＝b,AC＝c,求 C、D 间的距离.3
