课时提升作业(三十八)直接证明与间接证明(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·周口模拟)用反证法证明命题:若a+b+c为偶数,“则自然数a,b,c”恰有一个偶数时正确反设为()A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数C.自然数a,b,c中至少有两个偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】选D.“由于自然数a,b,c”“中恰有一个偶数的否定是自然数a,b,c”都是奇数或至少有两个偶数,故选D.2.(2015·北京模拟)若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,cR,∈所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又因为a,b,c不全相等,“所以以上三式至少有一个=”不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此证法是()A.分析法B.综合法C.分析法与综合法并用D.反证法【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.3.(2015·东城模拟)在△ABC中,sinAsinC
0,即cos(A+C)>0,所以A+C是锐角,从而B>,故△ABC必是钝角三角形.4.设a,bR,∈已知p:a=b;q:≤,则p是q成立的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B,p:a=b是q:≤成立的充分不必要条件.5.(2015·宁波模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【解析】选C.0⇐(a-c)(2a+c)>0⇐(a-c)(a-b)>0.6.若=loga,|logba|=-logba,则a,b满足的条件是()A.a>1,b>1B.01C.a>1,01.7.若a>b>c,则使+≥恒成立的最大的正整数k为()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,且a-c=a-b+b-c.又+=+=2++≥2+2=4(当且仅当2b=a+c时取等号),所以k≤+,k≤4,故k的最大正整数为4,故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)8.“用反证法证明命题若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设为.“【解析】x≠a且x≠b”“的否定是x=a或x=b”,因此应假设为x=a或x=b.答案:x=a或x=b【误区警示】此题容易出现:”x=a且x=b”的错误答案.9.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是.【解析】因为P2=2a+7+2=2a+7+2,Q2=2a+7+2=2a+7+2,所以P20,Q>0,所以P1;a+b=2;a+b>2;①②③a2+b2>2;ab>1.④⑤其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)【解析】若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:③(20分钟40分)1.(5分)(2015·青岛模拟)设x,y,z>0,则三个数+,+,+()A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2【解析】选C.因为x>0,y>0,z>0,所以++=++≥6,当且仅当x=y=z时等号成立,则三个数中至少有一个不小于2,故选C.2.(5分)(2015·营口模拟)若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;a>b①②与a0,ab<0,a>0,b>0,a<0,b<0,①②③④其中能使+≥2成立的条件的个数是.【解析】要使+≥2,只要>0且>0,即a,b不为0且同号即可,故有3个.答案:34.(12分)(2015·银川模拟)如图,几何体ABC-EFD是由直三棱柱截得的,EFAB,ABC=90°,AC=2AB...
