专题 2 相似三角形的判定及应用（一）一个三角形与另一个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似．这是判定三角形相似的重要方法之一．由此，即知（1）任何两个等边三角形都相似．（2）任何顶角相等的两个等腰三角形相似．（3）三角形的中位线截原三角形得到的小三角形与原三角形相似．（4）一个锐角相等的两个直角三角形相似．例 1 如图，设 P 是等边△ABC 的边 BC 上任一点，连 AP，作 AP 的中垂线交 AB、AC 于M、N．证明：BP·PC＝BM·CN．（1994 年安徽省竞赛题）例 2 如 图 ， △ ABC 和 △ A’B’C’ 的 各 边 交 成 六 边 形 DEFGHK ， 且EF KH∥，GH DE∥，FG KD∥，KH－EF＝FG—KD＝DE—OH>0．求证：△ABC，△A’B’C’均为等边三角形．例 3 如图，在锐角△ABC 中，D、E、F 分别是三条高 AD、BE、CF 的垂足，连 DF、EF、FD，求证：△DECAEFDBF∽△∽△．例 4 在等腰△ABC 中，AB＝AC＝6，P 为边 BC 上一点，且 PA=4，求 PB．PC 的值．例 5 如图，在△ABC 的边 AB 上取一点 D，连 CD，过 D 作 DE BC∥交 AC 于 E，过 E 作EF CD∥交 AB 于 F，求证：AB≥4DF．习题 11．设△ABC 的三边为，求证：（1）若∠A＝2B∠ ，则；（2）若∠A＝3B∠ ，则．2．在△ABC 中，∠A＝600，∠B＝800．求证：AC2－AB2＝AB·AC．3．在△ABC 中，∠C＝3A∠ ，．求 ．4．等腰△ABC 的顶角∠A＝1080，BC＝m，AB＝AC＝n，记，，．试排出的大小关系．5．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，若 AB＋BD＝25，AC－CD＝4，求 AD．6．已知 E 五边形的周长等于，所有对角线的长度之和等于 ，求的值．7．设 O 是△ABC 内任一点，直线 AO、BO、CO 分别与三边相交于 P、Q、R．令 BC＝ ，CA＝，AB＝ ，若，求证：OP＋OQ＋OR< ．专题 3 相似三角形的判定及应用（二）一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且对应夹角相等，则这两个三角形相似．这是判定三角形相似的又一重要方法．例 1 如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是底边上一点，F是线段 AD 上一点，且∠BED＝2CED∠＝∠BAC．求证：BD＝2CD．（1992 年全国联赛题，同§2．2 中例 2）例 2 如图，在△ABC 外作△BPC、△CQA、△ARB，使∠PBC＝∠CAQ＝450，∠BCP＝∠QCA＝300，∠ABR＝∠BAR＝150．求证：△POR 是等腰直角三角形．（1991 年四川省竞赛题）例 3 如图，已知△ABC 满足...
