中考数学-第二轮-专题突破-能力提升-专题集训10-等腰三角形探究试题

专题集训 10 等腰三角形探究一、选择题1．如图，点 A 的坐标为(0，1)，点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB 为边作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°，设点 B 的横坐标为 x，点 C 的纵坐标为 y，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( A )【解析】如图，作 AD∥x 轴，作 CD⊥AD 于点 D，由已知可得，OB＝x，OA＝1，∠AOB＝90°，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 C 的纵坐标是y， AD∥x 轴，∴∠DAO＋∠AOB＝180°，∴∠DAO＝90°，∴∠OAB＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∴∠OAB＝∠DAC，可证△OAB≌△DAC(AAS)，∴OB＝CD， 点 C 到 x 轴的距离为 y，点 D 到 x 轴的距离等于点 A 到 x 的距离 1，∴y＝x＋1(x＞0)．故选 A.2．如图，∠AOB＝120°，OP 平分∠AOB，且 OP＝2.若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有( D )A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．3 个以上【解析】如图，在 OA，OB 上截取 OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°. OP 平分∠AOB，∴∠EOP＝∠POF＝60°， OP＝OE＝OF，∴△OPE，△OPF 是等边三角形，∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，∴∠EPM＝∠OPN，可证△PEM≌△PON(ASA)，∴PM＝PN， ∠MPN＝60°，∴△POM 是等边三角形，∴只要∠MPN＝60°，△PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．二、填空题3．正方形 ABCD 的边长是 4，点 P 是 AD 边的中点，点 E 是正方形边上的一点，若△PBE是等腰三角形，则腰长为__2 或或 __．【解析】如图①，取 E 为 C，则 PB＝PC＝2；在 AB 上取 E 使 PE＝EB，如图②，设 AE＝x，∴(4－x)2＝x2＋4，解得 x＝，使 PE＝；在 BP 上取中点 M，如图③，作 ME⊥PB 交 DC 于E.设 EC＝x，由 PE＝BE 知 42＋x2＝22＋(4－x)2，解得 x＝，∴PE＝＝.4．如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，AB＝2，点 P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点 P，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P，D(P，D 两点不重合)两点间的最短距离为__2 － 2 __．【解析】如图，连结 AC，BD 交于点 O，以 B 为圆心 BC 为半径画圆交 BD 于 P.此时△PBC 是等腰三角形，线段 PD 最短， 四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴△ABC，△ADC 是等边三角形，∴BO＝DO＝×2＝，∴BD＝2BO＝2，∴PD 最小值＝BD－BP＝2－2.三、...