第5、6课时 函数的值域

第 5、6 课时 函数的值域教学目标：使学生掌握如何求二次函数、无理函数和分式函数的值域.教学重点：联系图像求值域.教学难点：联系图像求值域.教学过程：[例 1]求函数 y＝x2在下列范围内的值域：（1）x∈[1，2] （2）x∈[－1，2] （3）x∈[－3，2]（4）x∈[a，2] （5）x∈[T，T＋2][例 2] 求函数 y＝的值域. 解：令 t＝－x2＋2x＋3，则：y＝且 t∈[0，4]∴所求函数的值域为：[0，2][例 3] 求函数 y＝2x－3＋的值域.分析：对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.解： 4x－13≥0 ∴x∈[，＋∞） 令 t＝则得：x＝∴y＝t2＋t＋ ∴y＝（t＋1）2＋3 x≥ ∴t≥0 根据二次函数图象可得 y∈[，＋∞） [例 4] 求函数 y＝－的值域. 解：y＝（＋2）－｜－2｜＝∴y∈[0，4][例 5] 求函数 y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域.分析：对于 y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x＋1｜表示在数轴上表示 x 的点到点－1 的距离，｜x－2｜表示在数轴上表示 x的点到点 2 的距离，在数轴上任取三个点 xA≤－1，－1＜xB＜2，xC≥c，如图所示，可以看出｜xA＋1｜－｜xA－2｜＝－3－3＜｜xB＋1｜－｜xB－2｜＜3，｜xC＋1｜－｜xC－2｜＝3，由此可知，对于任意实数x，都有－3≤｜x＋1｜－｜x－2｜≤3所以函数 y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域为 y∈[－3，3][例 6] 求函数 y＝的值域.解： 函数定义域为 x∈R 由原函数可化得：y＝＝用心 爱心 专心＝＋＝＋＝－＋1 令 t＝ x∈R ∴t∈(0，1]∴y＝5t2－t＋1＝5（t－）2＋根据二次函数的图象得当 t＝时 ymin＝当 t＝1 时，ymax＝5∴函数的值域为 y∈[，5][例 7] 求下列函数的值域.（1）y＝ （2）y＝ （k≠0，k 是常数）（3）y＝（a、b 是常数，a≠0）（4）y＝（a、b、k 是常数，a、k≠0）[例 8] 求函数 y＝（x≠0）在下列定义域范围内的值域.（1）x∈（1，2）； （2）x∈（0，2）； （3）x∈（－1，2）；（4）x∈（2，+∞）； （5）x∈（－2，+∞）[例 9] 求下列函数的值域：（1）y＝；（2）y＝解：（1） y＝＝2－∴函数的值域为{ y︱y≠0}（2） y＝－＋ ≠0 ∴y≠－∴函数 y 的值域为 y∈（－∞，－）∪（－，＋∞）[例 10] 求函数 y＝的值域.解：由 y＝可知，x∈R 且 yx2＋2y＝3x2－1 即（3－y）x2＝2y＋1若 y＝3 时，则有 0＝7，这是不可能的.∴y≠3得：x2＝ x2≥0 ...