5．3 等比数列及其前 n 项和[知识梳理]1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q ( q ≠0) 表示．数学语言表达式：＝q(n≥2)，q 为常数，q≠0.(2)等比中项如果 a ， G ， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇔G 2 ＝ ab .2．等比数列的通项公式及前 n 项和公式(1)若等比数列{an}的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 an＝a1q n － 1 ；可推广为 an＝amq n － m .(2)等比数列的前 n 项和公式：当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝＝.3．等比数列的相关性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前 n 项和．(1)若 m＋n＝p＋q，则 aman＝ a paq，其中 m，n，p，q∈N*.特别地，若 2s＝p＋r，则 apar＝a，其中 p，s，r∈N*.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 q m (k，m∈N*)．(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q 是非零常数)也是等比数列．(4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.(5)当 q≠－1 或 q＝－1 且 k 为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，公比为qk.当 q＝－1 且 k 为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．(6)若 a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn，，，…成等比数列．(7)若数列{an}的项数为 2n，则＝q；若项数为 2n＋1，则＝q.[诊断自测]1．概念思辨(1)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )(2)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( )(3)在等比数列{an}中，如果 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，那么 am·an＝a.( )(4)数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n 项和为 Sn＝.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．教材衍化(1)(必修 A5P53T1)若等比数列{an}满足 a1＋a3＝20，a2＋a4＝40，则公比 q＝( )A．1 B．2 C．－2 D．4答案 B解析 由题意，得解得故选 B.(2)(必修 A5P56例 1)设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前 7 项和为________．答案 127解析 a5＝a1q4得 q＝2，所以 S7＝＝127.3．小题热身(1)(2018·华师一附中联考)在等比数...
