7．6 空间向量及运算 [知识梳理]1．空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式① 设点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝.② 设点 P(x，y，z)，则与坐标原点 O 之间的距离为|OP|＝.(2)中点公式设点 P(x，y，z)为 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则.2．空间向量的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．3．空间向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b 均为非零向量)：[诊断自测]1．概念思辨(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．( )(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( )(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多有一个零向量．( )(4)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x，y，z∈R)，则 P，A，B，C 四点共面．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．教材衍化 (1)(选修 A2－1P97A 组 T2)如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( )A．－a＋b＋c B.a＋b＋cC．－a－b＋c D.a－b＋c答案 A解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.故选 A.(2)(选修 A2－1P98T4)如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算：①EF·BA；②EF·DC；③EG 的长．解 设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.①EF＝BD＝c－a，BA＝－a，DC＝b－c，EF·BA＝·(－a)＝a2－a·c＝.②EF·DC＝(c－a)·(b－c)＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.③EG＝EB＋BC＋CG＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c，|EG|2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则|EG|＝.所以 EG 的长为.3．小题热身(1)在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB 与 CD 的位置关系是( )A．垂直 B．平行C．异面 D．相交但不垂直答案 B解析 由题意得，AB＝(－3，－3,3)，CD＝(1,1，－1)，∴AB＝－3CD，∴AB与 CD共线，又 AB 与 CD 没有公共点，∴AB∥CD.故选 B.(2)O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且OP＝OA＋OB＋tOC，若 P，A，B，C四点共面，则实数 t＝________.答案 解析 P，A，B，C 四点共面，∴＋＋t＝1，∴t＝.题型 1 空间向量的线性运算\s\up7( ) 如图所示，...
