第 4 讲 数列求和一、知识梳理1．数列求和方法(1)等差数列求和公式：Sn＝＝na1＋ d ．(2)等比数列求和公式：Sn＝2．一些常见数列的前 n 项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n 2 ；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n 2 ＋ n ．3．数列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的．(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(4)分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．(5)并项求和法一个数列的前 n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．常用结论记住常用的裂项公式(1)＝－.(2)＝.(3)＝－.二、教材衍化1．一个球从 100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10 次着地时，经过的路程是( )A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)解析：选 A.第 10 次着地时，经过的路程为 100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×＝100＋200(1－2－9)．2．在数列{an}中，an＝，若{an}的前 n 项和为，则项数 n 为( )A．2 014 B．2 015C．2 016 D．2 017解析：选 D.an＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以 n＝2 017.故选 D.3． 1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0 且 x≠1)．解析：设 Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，① 则 xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，② ①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝－nxn，所以 Sn＝－.答案：－一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn＝.( )(2)当 n≥2 时，＝.( )(3)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得．( )答案：(1)√ (2)√ (3)×二、易错纠偏(1)不会分组致误；(2)错...
