课时跟踪检测(十三) 渐开线与摆线一、选择题1．半径为 3 的圆的摆线上某点的纵坐标为 0，那么其横坐标可能是( )A．π B．2π C．12π D．14π解析：选 C 根据条件可知，圆的摆线方程为(φ 为参数)，把 y＝0 代入，得 φ＝2kπ(k∈Z)，此时 x＝6kπ(k∈Z)．2．给出下列说法：① 圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；② 圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程讨论圆的渐开线问题；③ 在求圆的摆线和渐开线方程时，假如建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④ 圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④解析：选 C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．3．已知一个圆的参数方程为(φ 为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点 A 与点 B 之间的距离为( )A.－1 B. C. D.解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为 3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把 φ＝代入参数方程中可得即 A，∴|AB|＝ ＝.4.如图 ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线 AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中 AE，EF，FG，GH 的圆心依次按 B，C，D，A 循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH 的长是( )A．3π B．4π C．5π D．6π解析：选 C 根据渐开线的定义可知，是半径为 1 的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为 2 的圆周长，长度为 π；是半径为 3 的圆周长，长度为；是半径为 4 的圆周长，长度为 2π.所以曲线 AEFGH 的长是 5π.二、填空题5．我们知道关于直线 y＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ 为参数)关于直线 y＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线 y＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了 x 与 y 的互换，所以要写出摆线方程关于 y＝x 对称的曲线方程，只需把其中的 x，y 互换．答案：(φ 为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是(φ 为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数 φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方...
