考点20数列的概念与简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.一、数列的相关概念1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2……项排在第n位的数称为这个数列的第n项.所以,数列的一般形式可以写成123,,,,,,naaaaLL简记为na.2.数列与函数的关系数列可以看成定义域为正整数集*N(或它的有限子集1,2,{},n)的函数nafn,当自变量按照由小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.由于数列是特殊的函数,因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集(或其有限子集1,2,{},n)这一条件.3.数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列,如数列1,2,3,4,5,7,8,9,10无穷数列项数无限的数列,如数列1,2,3,4,…按项的递增数从第2项起,每一项都大于它的前一项,如数列1,3,5,7,9,变化趋势列…递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项,如数列10,9,8,7,6,5,…常数列各项都相等的数列,如数列2,2,2,2,…摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,如1,2,1,2按项的有界性有界数列任一项的绝对值都小于某一正数,如-1,1,-1,1,-1,1,…无界数列不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它,如2,4,6,8,10,…二、数列的表示方法(1“”)列举法:将数列中的每一项按照项的序号逐一写出,一般用于杂乱无章且项数较少的情况.(2)解析法:主要有两种表示方法,①通项公式:如果数列na的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即()nafn.②递推公式:如果已知数列na的第一项(或前几项),且任一项na与它的前一项1na(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.(3)图象法:数列是特殊的函数,可以用图象直观地表示.数列用图象表示时,可以以序号为横坐标,相应的项为纵坐标描点画图.由此可知,数列的图象是无限个或有限个孤立的点.三、数列的前n项和与通项的关系数列的前n项和通常用nS表示,记作12nnSaaa,则通项11,2nnnSaSSn.若当2n时求出的na也适合1n时的情形,则用一个式子表示na,否则分段表示.考向一已知数列的前几项求通项公式1.常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用()1k或*11,()kkN处理.“”根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着从特殊到一般的思想.2.常见的数列的通项公式:(1)数列1,2,3,4…,的通项公式为nan;(2)数列2,4,6,8…,的通项公式为2nan;(3)数列1,4,9,16…,的通项公式为2nan;(4)数列1,2,4,8…,的通项公式为2nna;(5)数列1,12,13,14…,的通项公式为1nan;(6)数列12,16,112,120…,的通项公式为1(1)nann.3.根据图形特征求数列的通项公式,首先要观察图形,寻找相邻的两个图形之间的变化,其次要把这些变化同图形的序号联系起来,发现其中的规律,最后归纳猜想出通项公式.典例1写出下列数列的一个通项公式:(1)2,4,6,8,10,;(2)a,b,a,b,a,b,(其中a,b为实数);(3)579,,,81514,2.【解析】(1)数列各项的绝对值为连续的正偶数:2,4,6,8,10,,且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为112nnan.(2)这是一个摆动数列,奇数项为a,偶数项为b,所以它的一个通项公式为an=,,为奇数为偶数anbn.(...