第 3 讲 三角变换与解三角形 考点 1 三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β 等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．[例 1] (1)[2019·全国卷Ⅱ]已知 α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α＝( )A. B.C. D.(2)[2019·天津南开大学附属中学月考]已知 sin α＝，sin β＝，且 α，β 为锐角，则 α＋β 为( )A. B.或C. D.【解析】 (1)本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．由 2sin 2α＝cos 2α＋1，得 4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即 2sin αcos α＝1－sin2α.因为 α∈，所以 cos α＝，所以 2sin α＝1－sin2α，解得 sin α＝，故选 B.(2) sin α＝，sin β＝，且 α，β 为锐角，∴cos α＝，cos β＝，∴cos(α＋β)＝×－×＝，又 0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.故选 A.【答案】 (1)B (2)A化简三角函数式的规律规律解读一角一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式二名二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“弦切互化”三结构三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等温馨提醒(1)常用技巧：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换等．(2)根式的化简常常需要升幂去根号，在化简过程中注意角的范围，以确定三角函数值的正负『对接训练』1．[2019·山东济南长清月考]若＝sin 2θ，则 sin2θ＝( )A. B.C．－ D．－解析：通解 ＝sin 2θ，∴＝2sin＝sin 2θ，∴2sin＝－cos，∴2sin2－2sin－＝0，得 sin＝－，∴sin 2θ＝－cos＝2sin2－1＝－.故选 C.优解 ＝sin 2θ，∴＝sin 2θ，∴2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，∴3sin22θ－4sin 2θ－4＝0，得 sin 2θ＝－.故选C.答案：C2．[2019·全国高考信息卷]若 α 为第二象限角，且 sin 2α＝sincos(π－α)，则 cos的值为( )A．－ B...
