第 2 讲 点、直线、平面之间的位置关系 考点 1 点、线、面的位置关系判断空间点、线、面位置关系，主要依赖四个公理、平行关系和垂直关系的有关定义及定理，具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了．如要否定一个结论，只需找到一个反例就可以．[例 1] (1)[2019·全国卷Ⅱ]设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是( )A．α 内有无数条直线与 β 平行B．α 内有两条相交直线与 β 平行C．α，β 平行于同一条直线D．α，β 垂直于同一平面(2)[2019·全国卷Ⅲ]如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则( )A．BM＝EN，且直线 BM，EN 是相交直线B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线C．BM＝EN，且直线 BM，EN 是异面直线D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线【解析】 (1)本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，意在考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、直观想象．对于 A，α 内有无数条直线与 β 平行，当这无数条直线互相平行时，α 与 β 可能相交，所以 A 不正确；对于 B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B 正确；对于 C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以 C 不正确；对于 D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以 D 不正确．综上可知选 B.(2)本题主要考查空间线线位置关系，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．取 CD 的中点 O，连接 ON，EO，因为△ECD 为正三角形，所以 EO⊥CD，又平面 ECD⊥平面ABCD，平面 ECD∩平面 ABCD＝CD，所以 EO⊥平面 ABCD.设正方形 ABCD 的边长为 2，则 EO＝，ON＝1，所以 EN2＝EO2＋ON2＝4，得 EN＝2.过 M 作 CD 的垂线，垂足为 P，连接 BP，则 MP＝，CP＝，所以 BM2＝MP2＋BP2＝2＋2＋22＝7，得 BM＝，所以 BM≠EN.连接 BD，BE，因为四边形 ABCD 为正方形，所以 N 为 BD 的中点，即 EN，MB 均在平面 BDE 内，所以直线 BM，EN 是相交直线，选 B.【答案】 (1)B (2)B判断空间位置关系的两种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．(2)借助空间几何模型，如...
