第 47 讲 线面垂直与面面垂直考试要求 1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理(B 级要求)；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 (B 级要求).诊 断 自 测1.(教材改编)下列命题中正确的是________(填序号).① 如果平面 α⊥平面 β，且直线 l∥平面 α，则直线 l⊥平面 β；② 如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β；③ 如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β；④ 如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β＝l，那么 l⊥γ.解析 根据面面垂直的性质，知①不正确，直线 l 可能平行平面 β，也可能在平面 β 内，②③④正确.答案 ②③④2.设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内，直线 b 在平面 β 内，且 b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件.解析 若 α⊥β，因为 α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又 a⊂α，所以 a⊥b；反过来，当 a∥m 时，因为 b⊥m，且 a，m 共面，一定有b⊥a，但不能保证 b⊥α，所以不能推出 α⊥β.答案 充分不必要3.(2018·宿迁质检)对于四面体 ABCD，给出下列四个命题：① 若 AB＝AC，BD＝CD，则 BC⊥AD；② 若 AB＝CD，AC＝BD，则 BC⊥AD；③ 若 AB⊥AC，BD⊥CD，则 BC⊥AD；④ 若 AB⊥CD，AC⊥BD，则 BC⊥AD.其中为真命题的是________(填序号).解析 ①如图，取 BC 的中点 M，连接 AM，DM，由 AB＝AC⇒AM⊥BC，同理 DM⊥BC，且AM∩DM＝M⇒BC⊥平面 AMD，而 AD⊂平面 AMD，故 BC⊥AD.④ 设 A 在平面 BCD 内的射影为 O，连 接 BO ， CO ， DO ， 由 AB⊥CD⇒BO⊥CD ， 由 AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O 为 △ BCD 的 垂 心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.答案 ①④4.(必修 2P37 习题 6 改编)如图，平面 ABC⊥平面 ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD 是正三角形，O 为 AB 的中点，则图中直角三角形的个数为________.解析 由题可知△ABC，△ACO，△BCO，△OAD，△OBD，△OCD 是直角三角形. 答案 65.(必修 2P47 练习 5 改编)如图，已知直线 AB⊥α，垂足为 B，AC 是平面 α 的斜线，CD⊂α，CD⊥AC，则图中互相垂直的平面有________对.解析 平面 ABC⊥α，平面 ABD⊥α，平面 ABC⊥平面 ACD.答案 3知 ...
