专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积适考素能特训理一、选择题1．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()答案D解析由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D.2．[2016·重庆测试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B.C.D.答案B解析依题意，题中的几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(腰长分别为1、2)、高为1；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1、2)、高为1，因此该几何体的体积为×2×1×1＋××2×1×1＝，选B.3．[2016·唐山统考]三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A.B．4πC．8πD．20π答案C解析由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝××＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝＝，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π，故选C.4．[2016·武昌调研]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．18＋2πB．20＋πC．20＋D．16＋π答案B解析由三视图可知，这个几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为1、高为1的圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个圆柱的侧面积的和，即该几何体的表面积S＝4×5＋2×2π×1×1×＝20＋π，故选B.5．[2016·陕西质检]某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()A.B.C.D．3答案A解析根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示．则该几何体的体积是V几何体＝V三棱柱＋V三棱锥＝×2×1×1＋××2×1×1＝.故应选A.6．已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB－D的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为()A．2πB.πC.πD.π答案D解析如图，取AB的中点为M，连接CM，取DE的中点为N，连接MN，CN，可知∠CMN即为二面角C－AB－D的平面角，利用余弦定理可求CN＝＝CM，所以该几何体为正四棱锥，半径R＝，V＝πR3＝，故选D.二、填空题7．[2016·广西南宁检测]设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1、V2.若它们的侧面积相等且＝，则的值是________．答案解析设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则有2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，又＝，∴＝，∴＝，则＝2＝.8．[2016·山西太原一模]已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D－ABC，当三棱锥D－ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为________．答案π解析当平面DAC⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积取最大值．此时易知BC⊥平面DAC，∴BC⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，取AB的中点O，易得OA＝OB＝OC＝OD＝1，故O为所求外接球的球心，故半径r＝1，体积V＝πr3＝π.9．[2016·云南玉溪一模]表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S－ABC体积的最大值为________．答案27解析设球O的半径为R，则有4πR2＝60π，解得R＝.由于平面SAB⊥平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D在AB上，如图，当球心O在三棱锥S－ABC中，且D为AB的中点时，SD最大，三棱锥S－ABC的体积最大．设O′为等边三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，即有OO′∥SD.由于OC＝，OO′＝，则CO′＝＝2，则DO′＝，则△ABC是边长为6的等边三角形，则△ABC的面积为×6×3＝9.在直角梯形SDO′O中，作OM⊥SD于M，则OM＝DO′＝，DM＝OO′＝，∴SD＝DM＋MS＝＋＝3，所以三棱锥S－ABC体积的最大值为×9×3＝27.三、解答题10．[2016·达州一模]已知几何体A－BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A－BCED的体积为16.(1)求实数a的值；(2)将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．解(1)...
