第三节空间点、直线、平面之间的位置关系[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为B1O和C1O的中点,长方体的各棱中与EF平行的有()A.一条B.两条C.三条D.四条1.D【解析】与EF平行的棱为BC,B1C1,AD,A1D1共四条.2.若α,β是两个相交平面,给出下列命题:①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.其中真命题的个数有()A.0B.1C.2D.32.C【解析】当平面α,β垂直相交时,若直线m⊥α,则在平面β内,存在与直线m平行的直线,①是假命题;若直线m⊥α,则m垂直于平面α,β的交线,则在平面β内,平行于交线的直线与直线m垂直,即一定存在无数条直线与直线m垂直,②是真命题;若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线,③是假命题,④是真命题.3.E,F,G,H是三棱锥A-BCD棱AB,AD,CD,CB上的点,延长EF,HG交于点P,则点P()A.一定在直线AC上B.一定在直线BD上C.只在平面BCD内D.只在平面ABD内3.B【解析】 EF⊂平面ABD,HG⊂平面BCD,∴EF∩HG=P∈平面ABD∩平面BCD=BD,故点P一定在直线BD上.4.长方体中ABCD-A1B1C1D1,既与AB共面也与CC1共面的棱有()A.3条B.4条C.5条D.6条4.C【解析】如图,用列举法知符合要求的棱为BC,CD,C1D1,BB1,AA1.5.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,而α∩β=c,则直线c()A.一定与a,b中的两条相交B.至少与a,b中的一条相交C.至多与a,b中的一条相交D.至少与a,b中的一条平行5.B【解析】若c与直线a,b都不相交,由公理4可知三条直线平行,与题设矛盾.6.(2015·哈尔滨三中一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形,则异面直线CD与PB所成角的大小为()A.90°B.75°C.60°D.45°6.A【解析】由题意可得PA=PB=PD,所以点P在底面的射影是直角三角形ABD的外接圆的圆心,即为BD的中点O,即PO⊥底面ABCD,因为CD⊂平面ABCD,所以CD⊥PO,易证CD⊥DB,又PO与DB相交于点O,所以CD⊥平面PDB,则CD⊥PB,即异面直线CD与PB所成角的大小为90°.二、填空题(每小题5分,共5分)7.如果三个平面两两相交有三条交线,则三条交线的位置关系是.7.互相平行或者交于一点【解析】由图1知三条交线平行，由图2知三条交线交于一点.三、解答题(共20分)8.(10分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小;(2)求直线AB1和EF所成的角的大小.8.【解析】(1)如图,连接DC1, DC1∥AB1,∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角. ∠CC1D=45°,∴AB1和CC1所成的角是45°.(2)如图,连接DA1,A1C1, EF∥A1D,AB1∥DC1,∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角. △A1DC1是等边三角形,∴∠A1DC1=60°,即直线AB1和EF所成的角是60°.9.(10分)正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,判断点C1,O,M是否共线,并且说明理由.9.【解析】如图所示A1A∥C1C⇒确定平面A1C,⇒O在平面A1C与平面BC1D的交线上.⇒O∈C1M,即O,C1,M三点共线.[高考冲关]1.(5分)如图,在四面体ABCD中,平面ACD⊥平面BCD,且DB⊥平面ABC,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形1.C【解析】过点B在平面BCD中作CD的垂线,垂足是E,则由平面ACD⊥平面BCD得BE⊥平面ACD,所以AC⊥BE.又由DB⊥平面ABC得AC⊥DB,且BE∩DB=B,所以AC⊥平面BCD,AC⊥BC,故△ABC是以C为直角顶点的直角三角形.2.(5分)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列命题正确的序号有.①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.2.③④【解析】由已知中正方体的平面展开图,得到正方体的直观图如图所示.由正方体的几何特征可得:①BM与ED是垂直的,所以①错误.②CN是BE是平行线,所以②错误.③BM∥AN,且三角形ACN为正三角形,所以CN与BM成60°角,所以③正确.由DM⊥CN,DM⊥BC,所以DM⊥平面BCNE,DM⊥BN,所以④正确.3.(5分)(2015·哈尔滨三中二模)在四面体ABCD中,AD⊥AB,AD⊥DC,若AD与BC成角60°,且AD=,则BC等于.3.2【解析】将该四面体放入长方体中如...
