高考数学二轮复习 专题13 立体几何中的向量方法 理（含解析）试题VIP专享VIP免费

一、选择题1．(2014·北京理，7)在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)，若S1、S2、S3分别是三棱锥D－ABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1[答案]D[解析]D－ABC在xOy平面上的投影为△ABC，故S1＝AB·BC＝2，设D在yOz和zOx平面上的投影分别为D2和D3，则D－ABC在yOz和zOx平面上的投影分别为△OCD2和△OAD3， D2(0,1，)，D3(1,0，)．故S2＝×2×＝，S3＝×2×＝，综上，选项D正确．2．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()A.B.C.D.[答案]B[解析]以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,2)， AA1＝2AB，∴E(0,0,1)，∴BE＝(－1,0,1)，CD1＝(－1,0,2)，∴cos〈BE，CD1〉＝＝＝，故选B.3．(2015·浙江理，8)如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则()A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α[答案]B[解析] A′C和BC都不与CD垂直，∴∠A′CB≠α，故C，D错误．当CA＝CB时，容易证明∠A′DB＝α.不妨取一个特殊的三角形，如Rt△ABC，令斜边AB＝4，AC＝2，BC＝2，如图所示，则CD＝AD＝BD＝2，∠BDH＝120°，设沿直线CD将△ACD折成△A′CD，使平面A′CD⊥平面BCD，则α＝90°.取CD中点H，连接A′H，BH，则A′H⊥CD，∴A′H⊥平面BCD，且A′H＝，DH＝1.在△BDH中，由余弦定理可得BH＝.在Rt△A′HB中，由勾股定理可得A′B＝.在△A′DB中， A′D2＋BD2－A′B2＝－2<0，可知cos∠A′DB<0，∴A′DB为钝角，故排除A.综上可知答案为B.4．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.B.C.D.[答案]B[解析]如图，设A1在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA、OA1分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系如图．设△ABC边长为1，则A(，0,0)，B1(－，，)，∴AB1＝(－，，)．平面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sinα＝|cos〈AB1，n〉|＝＝.5.过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]B[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角(锐角)的余弦值为＝，故所求的二面角的大小是45°.6．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角[答案]D[解析] 四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又 SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC. SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SDB，从而AC⊥SB.故A正确．易知B正确．设AC与DB交于O点，连接SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO，SC与平面SBD所成的角为∠CSO，又OA＝OC，SA＝SC，∴∠ASO＝∠CSO.故C正确．由排除法可知选D.二、填空题7．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是________．[答案]a[解析]设M(0，m，m)(0≤m≤a)，AD1＝(－a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s＝(－，0，)，MD1＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝＝＝，根式内的二次函数当m＝－＝时取最小值()2－a×＋a2＝a2，故d的最小值为a.8．(2015·四川理，14)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．[答案][解析]分别以直线AB、AD、AQ为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．设AB＝1，则AF＝，E.设M(0，y,1)(0≤y≤1)，则EM＝，由于异面直线所成角的范围为，所以cosθ＝＝.因为2＝1－，令8y＋1＝t,1≤t≤9，则＝≥，当t＝1时取等号．所以≤＝所以cosθ＝...