§8.4直线、平面垂直的判定与性质考点垂直的判定与性质13.(2014浙江,20,15分)如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(1)证明:DE⊥平面ACD;(2)求二面角B-AD-E的大小.解析(1)证明:在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=,由AC=,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE,所以AC⊥DE.又DE⊥DC,从而DE⊥平面ACD.(2)解法一:作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG∥DE,与AE交于点G,连结BG,由(1)知DE⊥AD,则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B-AD-E的平面角.在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BD⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而BD⊥AB.由AC⊥平面BCDE,得AC⊥CD.在Rt△ACD中,由DC=2,AC=,得AD=.在Rt△AED中,由ED=1,AD=,得AE=.在Rt△ABD中,由BD=,AB=2,AD=,得BF=,AF=AD.从而GF=.在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分别可得cos∠BAE=,BG=.在△BFG中,cos∠BFG==.所以,∠BFG=,即二面角B-AD-E的大小是.解法二:以D为原点,分别以射线DE,DC为x轴,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示.由题意及(1)知各点坐标如下:D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2,),B(1,1,0).设平面ADE的法向量为m=(x1,y1,z1),平面ABD的法向量为n=(x2,y2,z2),可算得=(0,-2,-),=(1,-2,-),=(1,1,0),由即可取m=(0,1,-).由即可取n=(1,-1,).于是|cos|===,由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角B-AD-E的大小是.评析本题主要考查空间点、线、面的位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力、推理论证和运算求解能力.14.(2013四川,19,12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点.(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;(2)设(1)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A-A1M-N的余弦值.解析(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,分别交AB,AC于点M,N,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.由已知,AB=AC,D是BC的中点,所以BC⊥AD,则直线l⊥AD.因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,所以直线l⊥平面ADD1A1.(6分)(2)解法一:连结A1P,过A作AE⊥A1P于E,过E作EF⊥A1M于F,连结AF.由(1)知,MN⊥平面AEA1,所以平面AEA1⊥平面A1MN.所以AE⊥平面A1MN,则A1M⊥AE.所以A1M⊥平面AEF,则A1M⊥AF.故∠AFE为二面角A-A1M-N的平面角(设为θ).设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,有∠BAD=60°,AB=2,AD=1.又P为AD的中点,所以M为AB中点,且AP=,AM=1,所以在Rt△AA1P中,A1P=;在Rt△A1AM中,A1M=.从而AE==,AF==,所以sinθ==,所以cosθ===.故二面角A-A1M-N的余弦值为.(12分)解法二:设A1A=1.如图,过A1作A1E平行于B1C1,以A1为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz(点O与点A1重合).则A1(0,0,0),A(0,0,1).因为P为AD的中点,所以M,N分别为AB,AC的中点,故M,N,所以=,=(0,0,1),=(,0,0).设平面AA1M的法向量为n1=(x1,y1,z1),则即故有从而取x1=1,则y1=-,所以n1=(1,-,0).设平面A1MN的法向量为n2=(x2,y2,z2),则即故有从而取y2=2,则z2=-1,所以n2=(0,2,-1).设二面角A-A1M-N的平面角为θ,又θ为锐角,则cosθ===.故二面角A-A1M-N的余弦值为.(12分)评析本题主要考查基本作图、线面的平行与垂直、二面角等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,并考查应用向量知识解决立体几何问题的能力.15.(2012山东,18,12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.(1)求证:BD⊥平面AED;(2)求二面角F-BD-C的余弦值.解析(1)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,所以∠ADC=∠BCD=120°.又CB=CD,所以∠CDB=30°,因此∠ADB=90°,AD⊥BD,又AE⊥BD,且AE∩AD=A,AE,AD⊂平面AED,所以BD⊥平面AED.(2)解法一:由(1)知AD⊥BD,所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD,因此CA,CB,CF两两垂直.以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设CB=1.则C(0,0,0),B(0,1,0),D,-,0,F...
