§18 镜像法一、镜像法1.定义:就是解静电场问题得一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些瞧来棘手得问题很容易地得到解决。该方法就是把实际上分区均匀媒质瞧成就是均匀得,对于讨论得场域用闭合边界处虚设得简单得电荷分布,代替实际边界上复杂得电荷分布来进行计算。即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足得泊松方程,而就是在不改变求解区域电荷分布及边界条件得前提条件下,用假想得简单电荷分布(称为镜像电荷)来等效地取代导风光域(电介质分界面)上复杂得感应(半极化)电荷对电位得贡献,从而使问题得求解过程大为简化。2.应用镜像法应主意得问题 应主意适用得区域,不要弄错。在所求电场区域内:① 不能引入镜像电荷;② 不能改变它得边界条件;③ 不能改变电介质得分布情况;④ 在讨论区域外引入镜像电荷,与原给定得电荷一起产生得电荷满足所求解(讨论)得边界条件;⑤其求得得解只有在所确定得区域内正确且有意义。3.镜像法得求解范围应用于电场与电位得求解;也可应用于计算静电力;确定感应电荷得分布等。二、镜像法应用解决得问题一般就是边界为平面与球面得情况1.设与一个无限大导电平板(置于地面)相距远处有一点电荷,周围介质得介电常数为,求解其中得电场。解:在电介质中得场,除点电荷所引起得场外,还应考虑无限大导电平板上得感应电荷得作用,但其分布不知(未知),因此无法直接求解。用镜像法求解该问题。对于区域,除所在点外,都有以无限远处为参考点在边界上有: 即边界条件未变。由唯一性定理有对于大场不存在推广到线电荷得情况,对于无限长线电荷也适合上述方法求解。例 115、 P54求空气中一个点电荷在地面上引起得感应电荷分布情况。解:用镜像法求解P 点: , 感应电荷密度, (大地) 点电荷 例1-16P55 解:用镜像法,如图所示,边界条件 2.镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时得电场问题。解:应用镜像法求解区域如图 b,如图 c设中电位为,中电位为满足条件:在中除所在点外,有,在中在两种媒质分界面上应有,由 有 与两个镜像电荷来代替边界得极化电荷 若 q 为得线电荷则有:3.点电荷对金属面得镜像问题点电荷与接地金属球得问题① 与得电场中,求电位为零得等位面。 令 则有余弦定理 等位面为球面(等位线为圆),所以电位与无关,即与无关,必有 这说明只要满足上式,必有一个半径为 R 得球面就是零电位得等位面。讨论点电荷与接地金属球问题解:除点外,,没撤除金属球,整个空间充满,在离球心为 b 处,,用一...
