定积分的概念教学案例设计

《定积分的概念》教学案例设计1 教学目标及重点、难点1.1 教学目标知识目标：1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；2.借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应用定积分的定义求函数的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质；能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想.情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力.1.2教学重点微元法思想和定积分的基本性质1.3教学难点无限细分和无穷累积的思维方法2 教学过程简录2.1 实例铺路，引出课题 老师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤是什么？” 学生：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近） 老师：“对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．”师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行讨论．2.2演示验证，直观感知老师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想.”（老师动画演示对曲边梯形的分割过程）这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示.老师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？学生 1：以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。学生 2：还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积，以及“以直代曲”的思想.老师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念.2.2.1 定积分的概念 设函数在区间上有定义，任意用分点将分成个小区间，用表示第 个小区间的长度，在上任取一点，作乘积，. 再作和.图 5 － 1a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =biOn1 2y=f(x)xy若当时，上式的极限存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为在上的定积分，记作. 即 . (1)其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分下限和上限.许多实际问题都可用定积分表示. 例如，若变速直线运动的速度为，则在时间区间上，物体经过的路程为 . (2)同理，图 5－1 所示的曲边梯形面积可表为 (3)变力做功 (4)I．在可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点在小区间上如何选取，...