高中数学 1.2.2 同角三角函数关系互动课堂学案 苏教版必修 4疏导引导1.同角三角函数基本关系在 下 图 所 示 的 单 位 圆 中 ， ∠ POM=α,∴=cosα,=sinα ， 在 Rt△PMO 中 ，OM2+MP2=1，即 cosα2+sin2α=1,tanα==.2.由基本关系推导出的其他关系式 教材上只给出两个公式，即 sin2α+cos2α=1,tanα=.根据三角函数的定义，还可以推导出一些关系式.由三角函数定义知，sinα＝,cosα＝,tanα＝,cscα＝,secα＝,cotα＝xy,∴sinα·cscα＝·=1,cosα·secα＝·=1,cotα＝.将 sin2α+cos2α=1 的两边都同时除以 cos2α,得到 1+tan2α=sec2α.将 sin2α+cos2α=1 两边都除以 sin2α，又可得到 1+cot2α＝csc2α.连同教材上两个公式，共计八个公式，可归纳为三组：倒数关系：sinα·cscα=1cosα·secα=1tanα·cotα=1商数关系：tanα＝cotα＝平方关系：sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α 应用同角三角函数关系式，可以解决这样的问题，已知六个三角函数中的任一个可求其他五个，另外为化简 证明提供了方便.活学巧用【例 1】已知 cosα=,求 sinα、tanα 的值.解析：∵cosα＜0,且 cosα≠-1,∴α 是第二或第三象限角.如果 α 是第二象限角,那么 sinα=tanα==×()=-.如果 α 是第三象限角,那么 sinα=-,tanα=.答案：sinα=±,tanα=±.【例 2】 已知 sinα-cosα=,180°＜α＜270°,求 tanα 的值.解析:要求 tanα,需求出 sinα,cosα,因此先要对 sinα-cosα=进行变形.∵sinα-cosα= ①∴(sinα-cosα)2=()2.∴sin2α-2sinαcosα+cos2α=,∴2sinαcosα=1-=.又（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α＝1+.∵180°＜α＜270°,∴sinα＜0,cosα＜0,sinα+cosα＜0,∴sinα+cosα= ②解①②组成的方程组得 sinα＝,cosα=，∴tanα==2.【例 3】化简.解析:灵活运用同角三角函数关系式，把“1”与 sin2θ+cos2θ 代换.原式=====
