高中数学 3.2.2函数模型的应用实例学案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案

3．2.2 函数模型的应用实例[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题．[预习导引]1．解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：2．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．解决学生疑难点 要点一 用已知函数模型解决问题例 1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用 f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f(x)＝(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后 5 min 与开讲后 20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要 55 的接受能力以及 13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解 (1)当 0＜x≤10 时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.故 f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当 16＜x≤30 时，f(x)单调递减，f(x)＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后 10 min，学生达到最强的接受能力(值为 59)，并维持 6 min.(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f(5)．因此，开讲后 5 min 学生的接受能力比开讲后 20 min 强一些．(3)当 0＜x≤10 时，令 f(x)＝55，则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.所以 x＝20 或 x＝6.但 0＜x≤10，故 x＝6.当 16＜x≤30 时，令 f(x)＝55，则－3x＋107＝55.所以 x＝17 .因此，学生达到(或超过)55 的接受能力的时间为17 －6＝11 ＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中...