2.4 向量的数量积第 1 课时 向量的数量积学习目标重点难点1．能记住向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．2．能说出平面向量的数量积的含义及几何意义．3．能记住平面向量的数量积与投影的关系．4．会运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.重点：平面向量数量积的含义及其几何意义．难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题.1．向量的数量积(1)向量的数量积：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是 θ，我们把数量| a || b | cos θ 叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积)记作 a · b ，即 a · b ＝ | a || b |cos θ .规定零向量与任一向量的数量积为 0.(2)两个向量的夹角：对于两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．其范围是 0°≤ θ ≤180° ，当 θ＝0°时，a 与 b 同向，a · b ＝ | a || b | ；当 θ＝180°时，a 与 b 反向，a · b ＝－ | a || b | ；当 θ＝90°时，称向量 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b .预习交流 1(1)已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于__________．(2)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则 a·b＝__________.(3)已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，则 a 与 b 的夹角 θ＝__________.提示：(1)|2a－b|＝＝＝＝2.(2)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4cos 120°＝－10.(3)由公式得 cos θ＝＝＝－，所以 θ＝135°.2．向量数量积的性质及其运算律(1) 向 量 数 量 积 的 性 质 ： ① a·a 可 简 写 为 a 2 ， 所 以 a·a ＝ a 2 ＝ | a | 2 或 |a| ＝ ；② a⊥b⇔a · b ＝ 0 ；③ a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ ＝；④|a·b|≤| a || b | .(2)向量数量积的运算律：已知向量 a，b，c 和实数 λ.①a·b＝b · a ；②(λa)·b＝a ·( λ b ) ＝λ ( a · b ) ＝λ a · b ；③(a＋b)·c＝a · c ＋ b · c . 预习交流 2对于向量 a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立，因为若(a·b)·c≠0，其方向与 c 相同或相反，而 a·(b·c)≠0时其方向与 a 相同或相反，而 a 与 c 方向不一定相同，故该等式不一定成立．3．向量数量积的几何意义(1)向量 b 在 a 方向上的投影：设 a，b...
