第二章§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 【学习目标】掌握向量数乘的定义，理解向量数乘的几何意义.【学习重点】掌握向量数乘、向量数乘运算律、向量的线性运算.向量数乘的几何意义：由数乘向量的定 义可以看 出，它的几何意义就是将表示 向量的有向线段伸长或压缩．当时，表示的有向线段在原方向或反方向上伸长为原来的倍；当时，表示的有向线段在原方向或反方向上缩短为原来的倍．【基础知识】问题提出 1.如何求作两个非零向量的和向量、差向量？2.相同的几个数相加可以转化为 数乘运算，如 3＋3＋3＋3＋3=5×3=15. 类似地, 相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？现在我们就探究这个问题. 探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考 1： 已知非零向量 a，如何求作向量 a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋ （－a）？思考 2：向量 3a 和－3a 与向量 a 的大小和方向有什么关系？定义： 一般地，我们规定：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作 λa，其长度与方向规定如下:（1） （2） 探究二:向量的数乘运算性质 数乘向量的运算律，设 λ，μ 为实数，则（1） （2） （3） 特别地向量平行的充要条件：请同学们观察，，回答、有何关系？生： .引导：若、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？生： .【例题讲解】例 1 计算：（能力要求之一：向量的线性运算）（1）3（a-b)-2(a+2b)=____（2）2（2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)=____注：（1）它们的结果都是向量；（2）它们的运算法则与多项式运算相似例 2、如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，，你能用、表示、、、吗？ 例 3：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：【达标检测】1．已知实数 m，n 和向量 a，b，有下列说法：①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③ 若 ma＝mb，则 a＝b；④ 若 ma＝na(a≠0)，则 m＝n.其中，正确的说法是( )A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④2．设 a 是任一向量，e 是单位向量，且 a∥e，则下列表达式中正确的是( )A．e＝ B．a＝|a|eC．a＝－|a|e D．a＝±|a|e3. =___________。 =________ _。= ； =______ ___。4.在中，、分别是、的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D.5.点 C 在线段 AB 上，且，则。6.设是两个不共线向量，若，与共线，则实数的值为 .7.设两非零向量不共线，且，则实数 k 的值为 8. 中，，，且与边相交于点，的中线与相交于点.设，，用、分别表示向量.9.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.10.计算：（1）；（2）；（3）【问题与收获】
