高中数学 3.2二倍角的三角函数学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3.2 二倍角的三角函数一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议二倍角的正弦化归思想理解推导二倍角公式的关键在于认识“二倍角”是“和角”的特例，建议独立地推导公式，体会化归思想二倍角的余弦变形、升降幂公式二倍角的正切化归思想二、预习指导1. 预习目标(1)推导二倍角公式的思想和方法；(2)二倍角公式以及余弦的二倍角公式的变形(升、降幂公式)的记忆和应用；(3)和差角公式、二倍角公式综合应用.2. 预习提纲(1)阅读课本 P105 思考如何推导二倍角正弦、余弦、正切公式，并探究三倍角正弦、余弦、正切公式，并填空： ； ； (所有有意义)注意“倍角”的相对性.(2)阅读课本 P107 的降幂公式并学会运用降幂公式解题(如 P106 例 3 的解法 1)，阅读课本P107 的例 4，学会公式灵活运用.(3)探究：求的值. 3. 典型例题(1) 熟悉公式例 1 已知，，求，，的值.分析：先利用同角三角函数的关系求出，再分别套用二倍角正弦、余弦公式，注意角的范围.解： ，∴.∴，(2) 应用二倍角公式进行化简、求值、证明等例 2 已知，，，求.分析：先求，再求，最后求，注意的范围.解： ，∴，解得∴∴ ，，，∴∴ 又 ∴，∴∴.例 3 已知的值．分析：(1)先降幂，再用和差角公式展开,(2)条件展开为关于“”的条件，对需要求值的式子先化简，对“切”化成“弦”，对“”用二倍角公式，注意“”、 “” 、“”这三者的关系.解：由得，两边平方得：，∴， ∴=∴====.例 4 求值：(1)；(2)；(3).分析：(1)由这些角中后一角为前一角的两倍，联想到用正弦的二倍角公式；(2)这是 4 个正弦的积，且它们的角之间难以看出明显的关系.仿(1)将部分正弦化为余弦，用类似(1)的方法解题；(3)注意到与的关系，选择恰当的公式向“同角”方向努力.解：(1 )原式=====(2)原式=====(3)原式====(3) 升幂、降幂公式的应用降幂公式，特点：降幂同时扩角，当遇到且不需要“平方”时，常考虑该公式.升幂公式，特点：升幂同时缩角，当遇到时，常考虑该公式.例 5 化简：，分析：分母显然用升幂公式，分子中的“1”可与结合换成同时对用二倍角公式；也可把“1”与结合用升幂公式同时对也用二倍角公式，公式选择的主要依据依然是“同角”.解：原式=== ∴∴∴原式=例 6 (1)已知，，求的值；(2)求函数的最大值．分析：(1) ∴只要求，将已知两等式平方相加即可；(2) 不是特殊角∴应先降幂扩角，再用和差角公式展开.解：(1)将，分别平方并相加得：，即....