第四章 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 【学习目标】1.了解平面向量的数量积几何意义及应用； 2.掌握数量积的运算律，会进行有关运算； 3.掌握平面向量数量积的运算律与性质； 4.能解决一些向量的模，夹角，垂直的有关问题。【学习重点】平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 【基础知识】1.数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹 角为，我们把数量 ︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作： ，即： 。注意：①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替； ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。2.数量积的运算性质：设和都是非零向量，则当与同向时， ；当与反向时， ；特别地，= 或= ；cosθ=（夹角）3.的几何意义： 。4.数量积的运算律： （1）交换律： ； （2）数乘的结合律： ； （3）分配律： 注意：数量积不满足结合律和消去律 【例题讲解】例 1：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是 60°时，分别求·.例 2：已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为 60°，求（+2 ）·（-3），变式：（1）(+)2=2+2·+2 （2）(+ )·(-)= 2—2 例 3：【达标检测】1.若向量满足//且则= （ ）A．4 B.3 C.2 D.02. 已知||=1，||=，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）A.60° B.30° C.135° D.４５°3.已知||=2，||=1，与之间的夹角为，那 么向量 m=-4的模为（ ）A.2 B.2 C.6 D.124.下列各式：（1） （2）（3）（4）正确的个数为 5.已知向量、的夹角为，||=2，||=1，则|+|·|-|= .6.设 m、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量=2m+n 与=2n-3m 的夹角.7.已知||=1，||=，(1)若∥，求·； (2)若、的夹角为６０°，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.8.设向量，的夹角是，=，=3，m 是在方向上 的投影，求函数的最大值和最小值。【问题与收获】， 达标检测参考答案：1.D 2.D 3.B 4.2 个 5. 6. 120 度7. ; ；45 度8. 最大值为 8，最小值为 1/8.
