数的扩充你知道数学史上的“第一次数学危机”是怎么回事吗？它与我们现在常用的哪个概念密切相关？学完本节，你会找到答案．1．“数”发展的历史顺序大体是：正整数、__________、________、____________、________、____________.2．毕达哥拉斯学派基本的信条是“__________”，他们相信任何量都可以表示成两个整数之比，给定两条线段一定有一个__________．3．我国的刘徽已经对负数有了深刻的认识，在《______》中指出负数的绝对值未必小，正数的绝对值未必大．元朝的朱世杰在《__________》中第一次明确提出正负数的乘除法则．答案：1．分数 无理数 负数 零 虚数(复数)2．万物皆数 公共度量3．九章算术注 算学启蒙【例 1】 证明：正方形的对角线与其一边构成不可公度量．证明：如图，假设正方形的对角线与其一边构成可公度量，则二者之比为 α∶β(α，β互素)．根据勾股定理，有 α2=2β2.这里 α2为偶数，则 α 也必为偶数，设 α=2ρ，于是α2=4ρ2=2β2，即 β2=2ρ2，β2为偶数，则 β 也必为偶数．这与 α，β 互素的假设相矛盾，因此正方形的对角线与其一边不可公度量．这一证明与我们今天证明为无理数的方法相同．你能收集到历史上最早的有关值的计算吗？【例 2】 查阅资料欣赏我国《九章算术》中有关正负数的应用．答：《九章算术》最早给出的正负数加减法则的条文如下：《九章算术》中的正负术正负术曰，同名相除，异名相益．正无入负之，负无入正之．其异名相除，同名相益．正无入正之，负无入负之．这里的“同名”“异名”就是现在的“同号”“异号”，“除”“益”分别是“减”“加”．条文的前四句说的是减法法则，大意为：两数相减时，若二数同号，则差数的绝对值等于二数绝对值的差(大减小)；若二数异号，则差数的绝对值为二数绝对值之和．减去的数如果是正数而大于被减数，差数为负；减去的数如果是负数而绝对值大于被减数的绝对值，差数为正．后四句说的是加法法则，大意为：两数相加时，若二数同号，则和数的绝对值等于二数绝对值之和；若二数异号，则正数的绝对值较大时，和数为正，负数的绝对值较大时，和数为负．在《九章算术》中，正、负数的加减运算法则是怎样的？【例 3】 查阅复数的起源，体会复数发展的曲折过程．答： 复数的起源16 世纪意大利米兰学者卡当(Jerome Cardan1501—1576)在 1545 年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”．他是...
