2.5 平面向量应用举例（结）命题方向 1 向量在平面几何中的应用例 1 求证：直径所对的圆周角为直角．[分析] 本题实质就是证明AB·BC＝0.[证明] 设AO＝a，OB＝b，则AB＝a＋b，OC＝a，BC＝a－b，|a|＝|b|.因为AB·BC＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，所以AB⊥BC.所以∠ABC＝90°.命题方向 2 向量在物理中的应用例 2 一航船用 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 30°角，求水流速度与船的实际速度．[分析] 先根据题意作出示意图，然后再用向量知识解决． [解析] 如图，OA表示水流速度，OB表示船向垂直于对岸行驶的速度，OC表示船实际速度，∠AOC＝30°，|OB|＝5km/h.∵四边形 OACB 为矩形，|OA|＝＝＝5(km/h)，|OC|＝＝10(km/h)，∴水流速度为 5km/h，船实际速度为 10km/h.命题方向 3 平面向量的综合应用例 3 设(x2＋y2)(a2＋b2)＝(ax＋by)2(ab≠0)，求证：＝.[分析] 化简已知条件，计算量较大，可根据向量的有关运算性质，构造向量，化繁为简．[证明] 若 x＝y＝0，则结论显然成立．若 x、y 不全为 0，设 p＝(x，y)，q＝(a，b)．则由已知 cos
＝＝±1，∴＝0 或 π.即 p∥q，∴bx－ay＝0，即＝.求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．[证明] 设OA＝(a，b)，OB＝(c，d)．当OA、OB至少有一个为零向量时，所证不等式成立；当OA、OB均不是零向量时，设其夹角为 α，则有cosα＝＝，∵|cosα|≤1，∴≤1，规律总结：待解决的代数、几何、三角、物理等问题，只要其表达式能用向量运算来表示，就可以考虑使用向量方法去试着解决．本例中 a2＋b2，c2＋d2 与向量的模有联系，而 ac＋bd 与向量的数量积有联系，故可尝试能否设出向量来表示.
