高中数学 3.2 二倍角的三角函数互动课堂学案 苏教版必修 4疏导引导1.二倍角公式（1）二倍角公式的正弦、余弦、正切公式sin2α=2sinαcosα(S2α)cos2α=cos2α-sin2α=2cosα2-1=1-2sin2α(C2α)tan2α=(T2α)这组公式要记准、记熟、用活.下组给出这组公式的推导：∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,∴当 α=β 时，有 sin2α=2sinαcosα.∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.∴当 α=β 时，有 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1(sin2α=1-cos2α)=1-2sin2α(cos2α=1-sin2α).∵tan(α+β)=,∴当 α=β 时，有 tan2α=.公式 S2α,C2α中 α∈R,公式 T2α中的 α≠kπ+且 α≠kπ+(k∈Z).从上面的公式推导中可以看到二倍角公式是和角公式的特殊情况.(2)关于倍角公式应注意的几个问题：① 推导思路在正弦、余弦、正切的和角公式中，令两角相等，就得相应倍角公式，由此，倍角公式是和角公式的特例.② 公式的适用范围公式 S2α、C2α中，角 α 可以为任意角；但公式 T2α 只有当 α≠+kπ 及 α≠+(k∈Z)时，才成立，否则不成立.当 α=+kπ,k∈Z,虽然 tanα 的值不存在，但 tan2α 的值是存在的，这时求 tan2α 的值可利用诱导公式.③ 对于“二倍角”要有广义理解，如 4α 是 2α 的 2 倍；α 作为的 2 倍；作为 α4的 2 倍；3α 作为的 2 倍；作为的 2 倍等.2.二倍角公式的变形（1）公式逆用2sinαcosα=sin2α,sinαcosα=sin2α,cosα=.cos2α-sin2α=cos2α,=tan2α.(2)公式的逆向变换及有关变形1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2，1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.cos2α=,sin2α=.活学巧用【例 1】已知 sinα+cosα=,且 0＜α＜π,求 sin2α,cos2α,tan2α 的值.解析:∵sinα+cosα=,∴sin2α+cos2α+2sinαcosα=.∴sin2α=且 sinαcosα=＜0.∵0＜α＜π,sinα＞0,∴cosα＜0.∴sinα-cosα＞0.∴sinα-cosα=.∴cos2α=cos2α-sin2α=(sinα+cosα)(cosα-sinα)=×(-)=.tan2α=.【例 2】 已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.(1)求 f(x)的最小正周期；（2）若 x∈［0, ］,求 f(x)的最大值、最小值.解析:f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=cos(2x+).(1)T==π.(2)0≤x≤,0≤2x≤π,≤2x+≤,-1≤cos(2x+)≤.∴≤cos(2x+)≤1.∴f(x)max=1,f(x)min=.【例 3】已知函数 y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R.(1)当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2）该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换和伸缩变换得到.解析:(1)y=cos2x+sinxcosx+1=(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+y 取得最大值必须且只需2x+=+2kπ,k∈Z,即 x=+kπ,k∈Z.所以当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.(2)y=sinxy=sin(x+),y=sin(2x+)y=sin(2x+) y=sin(2x+)+.
