2.3.3 平面向量的坐标运算（结）一、向量的几何表示与坐标表示之间的转化在平面直角坐标系内，每一个向量都可以用一个有序实数对表示，即坐标可以把向量的起点平移到坐标原点，看其终点坐标即可，也可以把一个向量分解到两个轴上，看其对应的实数对.例 1. 在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．【分析】 本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、纵坐标的形式．【解】 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则 a1＝|a|cos45°＝2×＝，a2＝|a|sin45°＝2×＝；b1＝|b|cos120°＝3×(－)＝－，b2＝|b|sin120°＝3×＝；c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，c2＝|c|sin(－30°)＝4×(－)＝－2.因此 a＝(，)，b＝(－，)，c＝(2，－2)．【点评】 (1)向量的坐标就是向量在 x 轴和 y 轴上的分量，而与向量的位置无关.（2）利用任意角的三角函数定义，若 a=（a1,a2）,a 的方向相对于 x 轴正向的转角为 θ，则有a1= |a|cos θ, a2= |a|sin θ二、 平面向量的坐标运算例 2 已知 a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.【分析】 解答本题可先是数乘向量的坐标运算，再是向量坐标的加减运算．【解】 (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)＝(－，1)－(，)＝(－，)．【点评】 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．三、平面坐标运算的综合应用给出了向量的另一种表示——坐标表示式，向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．例 3 已知平面上三个点的坐标分别为 A(3,7)，B(4，6)，C(1，－2)，求点 D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．【分析】 A、B、C、D 四个点能构成平行四边形的情况有三种：四边形 ABCD 为平行四边形，四边形 ABDC 为平行四边形，四边形 ADBC 为平行四边形．【解】 设点 D 的坐标为(x，y)．(1)当平行四边形为 ABCD 时， ＝ ，∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，∴∴∴D(0，－1)；(2)当平行四边形为 ABDC 时，仿(1)可得 ...
