第 2 讲 三角形的重心、垂心、外心和内心三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。 初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。【知识梳理】三角形的四心(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心．(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等．【典例解析】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为 2：1.已知：D、E、F 分别为△ABC 三边 BC、CA、AB 的中点，求证：AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2：1.【解析】证明： 连结 DE，设 AD、BE 交于点 G，D、E 分别为 BC、AE 的中点，则 DE//AB，且，∽，且相似比为 1：2，.设 AD、CF 交于点，同理可得，则与重合， AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成.【解题反思】三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.【变式训练】求证重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。已知：为的重心,求证：GC1B1A1BAC【分析】可联系重心的性质，重心为中线的三等分点即；,在运用等底，高成比例完成证明；【点评】将重心的性质借助相似比，推出了重心关于三角形面积的性质。同时应当想到它还有其它性质。【典例解析】已知的三边长分别为，I 为的内心，且 I 在的边上的射影分别为，求证：.【解析】证明：作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，为圆的从同一点作的两条切线，，同理，BD=BF，CD=CE.；即.【解题反思】三角形的三条角平分相交于一点，这个交点称为三角形的内心。内心到...
