初识无限一位富翁偶然听到一个数学教授给学生谈论“无穷”，心里便琢磨，这“有限多个”好理解，比如“我的钱财有限多”，可这“无穷”是什么呢？难道就是跟自然数一样多，或者“更多”？富翁想知道自己理解的究竟对不对，于是就问教授：“请问‘无穷’是什么？”教授回答说：“无穷就是没有穷人，都像您一样富有．”教授看到富翁不理解的样子，就进一步解释说：“想一想，如果地球上的人有 无穷多个，比如说，可以和自然数对应起来，而且每个人只有一元钱，不要多，那么第一个向第二个人借一元，第二个向第三个借一元，依次往后借，如此下去，第一个人就有 2 元钱，其他人也没有少钱．”富翁点头承认，并说：“那还是没有我的钱多．”教授接着说：“如果第一个人重复一百万次，那不就是百万富豪了？！”富翁这才恍然大悟，明白了“无穷”是什么．1．大约在 1872 年，德国著名数学家________关于无限的研究在数学史上引发了一次大地震．他指出，无限是一个奇妙的新世界，其中不但有大小之分，而且还可以进行计算．2．若在集合 A 与 B 之间，存在元素间的对应法则 f，使得 A 中的任一个元素 a，按照对应法则 f，必有 B 中________元素 b 与之对应；反之，B 中的任一元素 b，按照对应法则 f，必有 A中________元素 a 与之对应，则称 f 为 A 到 B 上的一对一的映射，简称 f 建立了 A 与 B 之间的一个一一对应．3．康托的功绩是把一一对应的概念推广到了____集上．4．在集合 A 与 B 之间，若存在一个一一对应，则称它们有相同的________，并称它们是________．5．若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应，则称这个集合是________．6．有理数集与正整数集具有________基数，即有理数集是________．答案：1．康托2．唯一的 唯一的3．无限4．基数 对等的5．可数的6．相同的 可数的一、一一对应【例 1】 设 A＝(－1,1)，R＝(－∞，＋∞)．建立集合 A 与 R 之间的一一对应关系．思路分析：关键是找到一个对应法则 f，使对任意的 x∈A，按照对应法则 f，必有 R 中唯一的元素 y 与之对应；反之，R 中的任一元素 y，按照对应法则 f，必有 A 中唯一的元素 x 与之对应．解：任取 A 中的元素 x，规定对应法则为：x 先乘以，再取正切值，即 y＝tanx，则 y∈R 且y 唯一存在；反之，对任意的 R 中的元素 y，根据对应法则 y＝tanx，一定在 A 中有唯一的 x 与之对应．从而对...
