7.2.1 直线的一般方程1．在学习一次函数时，我们已经知道一次函数 y＝kx＋b 的图象是直线．2．一般地，对任意一个二元方程 f(x，y)＝0，以这个方程的某一组解(x，y)为坐标，有唯一一个点与之对应，所有这些点组成的集合称为这个方程的图象．3．定理 1：任意一个二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不全为 0)的图象是与 n ＝ ( A ， B ) 垂直的一条直线．反过来，设直线 l 垂直于已知非零向量 n＝(A，B)，且经过已知点 P0(x0，y0)，则 l 的方程为 A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.经过整理可化为一般的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 的形式，这种形式的方程称为直线的一般式方程．4．如果非零向量 n 与直线 l 垂直，就称 n 是 l 的法向量．5．一般式方程 Ax＋By＋C＝0 的一次项系数组成直线的法向量 n 的坐标是(A，B)．要求常数项 C，只要将直线上已知点(x0，y0)的坐标代入方程得到 Ax0＋ By 0＋ C ＝ 0 .即可得到C．6．直线的两点式方程是：( y 2－ y 1)( x － x 1) － ( x 2－ x 1)( y － y 1) ＝ 0 .过两点 A(－2,1)，B(0,2)的直线方程是__________；过点 M(－2,2)，N(－2,0)的直线方程是__________；过点 P(－3，－1)，Q(－4，－1)的直线方程是__________．提示：x－2y＋4＝0 x＝－2 y＝－1一、求直线的一般方程【例 1】已知点 A(1,2)，B(3,1)，求线段 AB 的垂直平分线所在的直线方程．首先求出中点的坐标，然后求出线段 AB 垂直平分线的法向量，代入一般方程求解．解：设线段 AB 中点为 M(x，y)，则 x＝＝2，y＝＝. ＝(2，－1)，又 是线段 AB 垂直平分线的法向量，∴线段 AB 垂直平分线的方程具备形式 2x－y＋C＝0.又线段 AB 垂直平分线过定点，代入可知，4－＋C＝0，C＝－.∴线段 AB 垂直平分线的方程是 2x－y－＝0，即 4x－2y－5＝0.求一般方程关键是求出方程的法向量，只要法向量求出来了，代入一般方程求出 C 即可．1－1 已知三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，则其边 AB上的高 CD 所在直线方程是( )．A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－2＝0C．x＋y－3＝0 D．2x＋y－3＝0解析：由题意得，边 AB 上的高 CD 所在的直线的法向量是.＝(1,1)，故 CD 所在的直线具备 x＋y＋c＝0 的形式．又 CD 经过点 C(0,2)，故 C(0,2)满足直线方程．将 C(0,2)代入 x＋y＋c＝0，得 0＋2＋c＝0.∴c＝－2.故直线方程是 x＋y－2＝0....
