复变函数与积分变换答案修订版-习题1

习题一1、 用复数得代数形式 a+ib 表示下列复数、① 解: ② 解: ③ 解: ④ 解: 2、求下列各复数得实部与虚部(z=x+iy)R); ① 解:∵设 z=x+iy则∴,.② 解:设 z=x+iy∵∴,.③ 解:∵∴,.④ 解:∵∴,.⑤ 解:∵.∴当时,,;当时,,.3、求下列复数得模与共轭复数① 解:.② 解:③ 解:.④ 解:4、证明:当且仅当时,z 才就是实数.证明:若,设,则有 ,从而有,即 y=0∴z=x 为实数.若 z=x,x∈,则.∴.命题成立.5、设 z,w∈,证明: 证明:∵∴.6、设 z,w∈,证明下列不等式.并给出最后一个等式得几何解释.证明:在上面第五题得证明已经证明了.下面证. ∵.从而得证.∴几何意义:平行四边形两对角线平方得与等于各边得平方得与.7、将下列复数表示为指数形式或三角形式① 解: 其中.② 解:其中.③ 解:④ 解:、∴⑤ 解:解:∵.∴8、计算:(1)i 得三次根;(2)1 得三次根;(3) 得平方根、⑴i 得三次根.解:∴. ⑵1 得三次根解:∴⑶ 得平方根.解:∴∴.9、设、 证明:证明:∵ ∴,即.∴又∵n≥2. ∴z≠1从而11、设就是圆周令,其中、求出在 a 切于圆周得关于得充分必要条件、解:如图所示.因为={z: =0}表示通过点 a 且方向与 b 同向得直线,要使得直线在 a 处与圆相切,则 CA⊥.过 C 作直线平行,则有∠BCD=β,∠ACB=90°故 αβ=90°所以在 α 处切于圆周 T 得关于 β 得充要条件就是 αβ=90°.12、指出下列各式中点 z 所确定得平面图形,并作出草图、解:(1)、argz=π.表示负实轴.(2)、|z1|=|z|.表示直线 z=.(3)、1<|z+i|<2解:表示以 i 为圆心,以 1 与 2 为半径得周圆所组成得圆环域。(4)、Re(z)>Imz.解:表示直线 y=x 得右下半平面5、Imz>1,且|z|<2.解:表示圆盘内得一弓形域。