2.2.4 均值不等式及其应用第 1 课时 均值不等式学 习 目 标核 心 素 养1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点)1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养．2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养．如图，是 2002 年 8 月在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？1．算术平均值与几何平均值对于正数 a，b，常把数叫做 a，b 的算术平均值，数叫做 a，b 的几何平均值．2．均值不等式(1)当 a＞0，b＞0 时，有≥，当且仅当 a＝b 时，等号成立．思考 1：均值不等式中的 a，b 只能是具体的数吗？[提示] a，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式．思考 2：均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？[提示] 不能．如 a＝－3，b＝－4，均值不等式不成立．(2)均值不等式的常见变形① 当 a＞0，b＞0，则 a＋b≥2；② 若 a＞0，b＞0，则 ab≤.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立．( )(2)若 a≠0，则 a＋≥2＝2.( )(3)若 a>0，b>0，则 ab≤.( )[答案] (1)× (2)× (3)√[提示] (1)任意 a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 成立，当 a，b 都为正数时，不等式 a＋b≥2成立．(2)只有当 a>0 时，根据均值不等式，才有不等式 a＋≥2＝2 成立．(3)因为≤，所以 ab≤.2．已知 a，b∈(0，1)，且 a≠b，下列各式中最大的是( )A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋bD [ a，b∈(0，1)，∴a2＜a，b2＜b，∴a2＋b2＜a＋b，又 a2＋b2＞2ab(a≠b)，∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.又 a＋b＞2(a≠b)，∴a＋b 最大．]3．(教材 P77 习题 2－2A⑧ 改编)已知 x＞0，则 y＝x＋＋2 的最小值是________．2＋2 [ x＞0，＞0，∴y≥2＋2，当且仅当 x＝，即 x＝时等号成立．]4．当 a，b∈R 时，下列不等关系成立的是________．①≥；② a－b≥2；③ a2＋b2≥2ab；④ a2－b2≥2ab.③ [根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对均值不等式的理解【例 1】 给出下面三个推导过程：① a，b 为正实数，∴＋≥2＝2；② a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；③ x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－[(－)＋(－...
