高中数学 第2章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用（第1课时）均值不等式学案 新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学案

第 1 课时 均值不等式学 习 目 标核 心 素 养1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点)1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养．2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养.1．算术平均值与几何平均值对于正数 a，b，常把叫做 a，b 的算术平均值，把叫做 a，b 的几何平均值．2．均值不等式(1)当 a＞0，b＞0 时，有≥，当且仅当 a＝b 时，等号成立；(2)均值不等式的常见变形① 当 a＞0，b＞0，则 a＋b≥2；② 若 a＞0，b＞0，则 ab≤2.1．不等式 a2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A．a＝±1 B．a＝1C．a＝－1 D．a＝0B [当 a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即 a＝1 时“＝”成立．]2．已知 a，b∈(0,1)，且 a≠b，下列各式中最大的是( )A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋bD [ a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，∴a2＋b2＜a＋b，又 a2＋b2＞2ab(a≠b)，∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.又 a＋b＞2(a≠b)，∴a＋b 最大．]3．已知 ab＝1，a>0，b>0，则 a＋b 的最小值为( )A．1 B．2 C．4 D．8B [ a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当 a＝b＝1 时取等号，故 a＋b 的最小值为 2.]4．当 a，b∈R 时，下列不等关系成立的是________．①≥；② a－b≥2；③ a2＋b2≥2ab；④ a2－b2≥2ab.③ [根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对均值不等式的理解【例 1】 给出下面三个推导过程：① a，b 为正实数，∴＋≥2＝2；② a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；③ x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－－＋－≤－2＝－2.其中正确的推导为( )A．①② B．①③C．②③ D．①②③B [① a，b 为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确．② a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，∴＋a≥2＝4 是错误的．③ 由 xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]1．均值不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是 a，b 都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当 a＝b 时，≤的等号成立，即 a＝b⇒＝；仅当 a＝b 时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.1．下列不等式的推导过程正确的是________．① 若 x＞1，则 x＋≥2＝2；② 若 x＜0，则 x＋＝－≤－...