高中数学 第2章 几个重要的不等式 3 3.1 数学归纳法学案 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学学案VIP专享

3.1 数学归纳法学习目标：1.了解数学归纳法的原理及其使用范围，掌握数学归纳法证明的步骤．(重点)2.能够利用数学归纳法证明一些简单问题．(难点)教材整理 数学归纳法阅读教材 P36～P37“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．数学归纳法的原理数学归纳法原理是：设有一个关于正整数 n 的命题，若当 n 取第 1 个值 n0时该命题成立，又在假设当 n 取第 k 个值时该命题成立后可以推出 n 取第 k ＋ 1 个值时该命题成立，则该命题对一切自然数 n ≥ n 0 都成立．2．数学归纳法证明的步骤(1)验证当 n 取第一个值 n 0(如 n0＝1 或 2 等)时命题正确．(2)假设当 n＝k 时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也正确．在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从 n0开始的所有正整数都正确．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明命题“多边形的内角和是(n－2)×180°”时，验证的第一个值是3.( )(2)用数学归纳法证明只与自然数 n 有关的命题时，第二步中在假设 n＝k(k≥n)成立时，总是证明 n＝k＋1 时也成立.( )(3)使用数学归纳法时，可以不使用归纳假设.( )[解析] (1)√ 因为边数最少的多边形是三角形．(2)× 在证只与正整数有关的命题时，在假设 n＝k 成立的前提下，证明 n＝k＋2 时也成立．(3)× 用数学归纳法证题中必须使用归纳假设．[答案] (1)√ (2)× (3)×数学归纳法的概念【例 1】 用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证 n＝1 成立时， 左边计算的结果是( )A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3[精彩点拨] 只需把 n＝1 代入，观察式子左边规律即得答案．[自主解答] 实际是由 1(即 a0)起，每项指数增加 1，到最后一项为 an+1，因此 n＝1 时，左边的最后一项应为 a2，因此左边计算的结果应为 1＋a＋a2.[答案] C1验证 n 取第一个值 n0时命题正确是运用数学归纳法的基础，一定要正确找出 n＝n0时的命题.1．若 f(k)＝1－＋－＋…＋－，则 f(k＋1)＝f(k)＋__________.[解析] f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－，∴f(k＋1)＝f(k)＋－.[答案] －用数学归纳法证明等式【例 2】 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．[精彩点拨] 要证的等式左边共 2n 项，右边共 n 项，f(k)与 f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k...