高中数学 第2章 几个重要的不等式 3 3.2 数学归纳法的应用学案 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学学案VIP专享

3.2 数学归纳法的应用学习目标：1.会利用数学归纳法证明一些简单的不等式及综合问题.2.了解贝努利不等式及其应用的条件，会用数学归纳法证明贝努利不等式．(难点)教材整理 贝努利不等式定理阅读教材 P38～P39“练习”以上部分，完成下列问题．定理 对任何实数 x≥－1 和任何正整数 n，有(1＋x)n≥1 ＋ nx .在贝努利不等式中当 x＝0 时，n 为大于 1 的自然数，不等式形式将有何变化？[解] 当 x＝0 时，不等式将变成等式，即(1＋x)n＝1＋nx. 贝努利不等式的简单应用【例 1】 设 b>a>0，n∈N＋，证明：≥(b－a)＋1.[精彩点拨] 由 b>a>0，令 1＋x＝(x>0)，利用贝努利不等式证明．[自主解答] 由 b>a>0，知>1，令 1＋x＝(x>0)，则 x＝－1，由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx，∴＝(1＋x)n≥1＋nx＝1＋n，故≥(b－a)＋1.利用 1＋x＝代换，为利用贝努利不等式创造条件.1．试证明 >1－与 > (n∈N＋)．[证明] 由 n∈N＋，∴n＋1≥2.由贝努利不等式，得(1) >1－＝1－.(2)由(1)得 >1－，故 >＝＝.用数学归纳法证明不等式【例 2】 试证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．[精彩点拨] ―→―→1[自主解答] (1)当 n＝1 时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边>右边；当 n＝2 时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当 n＝3 时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．因此当 n＝1,2,3 时，不等式成立．(2)假设当 n＝k(k≥3 且 k∈N)时，不等式成立．当 n＝k＋1 时，2k+1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因 k≥3，则 k－3≥0，k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.所以 2k+1＋2>(k＋1)2.故当 n＝k＋1 时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何 n∈N＋都成立．通过本例可知，在证明 n＝k＋1 时命题成立的过程中，针对目标 k2＋2k＋1，采用缩小的手段，但是由于 k 的取值范围k≥1太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤把验证 n＝1 扩大到验证 n＝1，2，3的方法，使假设中 k 的取值范围适当缩小到 k≥3，促使放缩成功，达到目标.2．已知 Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S>1＋(n≥2，n∈N＋)．[证明] (1)当 n＝2 时，S＝1＋＋＋＝>1＋，即 n＝2 时命题成立．(2)假设 n＝k 时命题成立，即 S＝1＋＋＋…＋>1＋.当 n＝k＋1 时，S＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>>1＋＋＝1＋＋＝1＋.故当 n＝k＋1 时，命题也成立．...