高中数学 第3章 不等式 3.4.1 基本不等式的证明学案 苏教版必修5-苏教版高中必修5数学学案

3．4.1 基本不等式的证明1．理解基本不等式的内容及证明．(重点)2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点)3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)[基础·初探]教材整理 1 算术平均数与几何平均数阅读教材 P96，完成下列问题．对于正数 a，b，我们把称为 a，b 的算术平均数，称为 a，b 的几何平均数．若两个正数 a，b 的算术平均数为 2，几何平均数为 2，则 a＝________，b＝________.【解析】 由题意可知∴∴a＝2，b＝2.【答案】 2 2教材整理 2 基本不等式阅读教材 P97～P98，完成下列问题．如果 a，b 是正数，那么≤(当且仅当 a ＝ b 时取“＝”)，我们把不等式≤(a≥0，b≥0)称为基本不等式．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意 a，b∈R，都有 a＋b≥2 成立．( )(2)不等式 a2＋4≥4a 成立的条件是 a＝2.( )【答案】 (1)× (2)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问 2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问 3：_________________________________________________1解惑：__________________________________________________ [小组合作型]用基本不等式证明不等式 已知 a，b，c 为不全相等的正数．(1)求证：a＋b＋c≥＋＋；(2)求证：＋＋≥a＋b＋c.【精彩点拨】 (1)利用 a＋b≥2，a＋c≥2，b＋c≥2 求证；(2)利用＋b≥2；＋c≥2；＋a≥2 求证．【自主解答】 (1) a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2，a＋c≥2，b＋c≥2.又 a，b，c 为不全相等的正数，∴a＋b＋c≥＋＋.又 a，b，c 互不相等，故等号不能同时取到，所以 a＋b＋c>＋＋.(2) a，b，c，，，均大于 0，∴＋b≥2＝2a，当且仅当＝b 时等号成立．＋c≥2＝2b，当且仅当＝c 时等号成立．＋a≥2＝2c，当且仅当＝a 时等号成立．相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，∴＋＋≥a＋b＋c.利用基本不等式证明不等式的条件要求：(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[再练一题]1．已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋...