基本不等式的证明一、考点突破知识点课标要求题型说明基本不等式的证明1. 掌 握 基 本 不 等 式 （a≥0，b≥0）；2.能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式，即可解决的问题）选择题填空题基本不等式的证明中要注意多次运用公式等号能否同时取到，这一章节也是不等式的难点。二、重难点提示重点：理解掌握基本不等式，并能利用基本不等式证明不等式。难点：理解基本不等式等号成立的条件。考点一：基本不等式如果 a，b 是正数，那么 （当且仅当 a＝b 时取“＝”），我们把不等式称为基本不等式。【要点诠释】① 对于正数 a，b，我们把称为 a，b 的算术平均数，称为 a，b 的几何平均数，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。② 对于“=”的理解应为若，则且若，则，也就是说当时，。③ 注意与成立的条件是不同的，前者是，后者是。考点二：基本不等式的其他形式基本不等式的四种形式 ① ；（）；② （）；③ （）；④ （）。【要点诠释】①② 两种形式的前提是，③④两种形式的前提是；四种形式等号成立的条件都是。考点三：利用基本不等式证明不等式（1）注意均值不等式的前提条件；（2）通过加减项的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；（3）注意“1”的代换；（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用。如；（5）合理配组，反复应用不等式。基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点。【随堂练习】若 0＜a＜1,0＜b＜1，且 a≠b，则 a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是________。思路分析：（1）利用特殊值法判断；（2）利用基本不等式判断大小。答案：方法一：取，则。显然 a＋b 最大。方法二： 因为 0＜a＜1,0＜b＜1，a≠b，所以 a＋b＞2，a2＋b2＞2ab，所以四个数中最大的数应从 a＋b，a2＋b2中选择．而 a2＋b2－（a＋b）＝a（a－1）＋b（b－1），又因为 0＜a＜1,0＜b＜1，所以 a（a－1）＜0，b（b－1）＜0，所以 a2＋b2－（a＋b）＜0，即a2＋b2＜a＋b，所以 a＋b 最大。技巧点拨：特殊值法是解决客观题的一种简单实用的方法；基本不等式是比较大小的一种途径。例题 1 （基本不等式的简单证明）已知 a＞b＞c，求证：。思路分析：不等式左侧分式含 a，b，c 三个字母...
