高中数学 第2章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2．2.3 向量数乘运算及其几何意义[教材研读]预习课本 P87～90，思考以下问题1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？ 2．向量数乘运算满足哪三条运算律？ 3．向量共线定理是怎样表述的？ 4．向量的线性运算是指的哪三种运算？ [要点梳理]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；② 当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反．(2)运算律：设 λ，μ 为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.2．向量共线的条件向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa.3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a，b 及任意实数λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．λa 的方向与 a 的方向一致．( )2．共线向量定理中，条件 a≠0 可以去掉．( )3．对于任意实数 m 和向量 a，b，若 ma＝mb，则 a＝b.( )[答案] 1.× 2.× 3.×思考：向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？提示：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．化简下列各式：(1)3(6a＋b)－9；(2)－2；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝(10a－3a－7a)＋(9b－8b)＋(2c－3c)＝b－c 向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．[跟踪训练]若 a＝b＋c，化简 3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为( )A．－aB．－4bC．cD．a－b[解析] 3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6...