3.1.2 函数的单调性第 1 课时 单调性的定义与证明学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．(重点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．(重点、难点)3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)1.借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．3．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量 y 是时间间隔 t 的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．问题 (1)当时间间隔 t 逐渐增大你能看出对应的函数值 y 有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？1．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 D，且 I⊆D：如果对任意 x1，x2∈I，当 x2＞x1时都有 f(x2)＞f(x1)都有 f(x2)＜f(x1)结论y＝f(x)在 I 上是增函数(也称在 I 上单调递增)y＝f(x)在 I 上是减函数(也称在 I 上单调递减)图示思考 1：增(减)函数定义中的 x1，x2有什么特征？[提示] 定义中的 x1，x2有以下 3 个特征(1)任意性，即“任意取 x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定 x2＞x1；(3)属于同一个单调区间．[拓展] (1)自变量的大小与函数值的大小关系：① 单调递增：x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＞f(x2).② 单调递减：x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＜f(x2).即可以利用单调递增、单调递减的定义，实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化．(2)若 f(x)在区间 I 上为增(减)函数，则函数 f(x)的图像在区间 I 上的对应部分自左向右逐渐上升(下降).2．函数的单调性与单调区间如果函数 y＝f(x)在 I 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y＝f(x)在 I 上具有单调性(当 I 为区间时，称 I 为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).思考 2：函数 y＝在定义域上是减函数吗？[提示] 不是．y＝在(－∞，0)上递减，在(0...
