第 2 课时 函数的平均变化率学 习 目 标核 心 素 养1.理解斜率的含义及平均变化率的概念．(重点)2．掌握判断函数单调性的充要条件．(重点、难点)通过利用函数 f(x)的平均变化证明 f(x)在 I上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养．科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图思考下列问题：问题 (1)在区间[6，17]对应的曲线上任取不同两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝一定大于零吗？(2)如果在区间[2，10]对应的曲线上任取不同两点 C(x3，y3)，D(x4，y4)，＝一定大于零吗？1．直线的斜率(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当 x1≠x2时，称为直线 AB 的斜率；(若记 Δx＝x2－x1，相应的 Δy＝y2－y1，当 Δx≠0 时，斜率记为)，当 x1＝x2时，称直线 AB 的斜率不存在．(2)作用：直线 AB 的斜率反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度．2．平均变化率与函数单调性若 I 是函数 y＝f(x)的定义域的子集，对任意 x1，x2∈I 且 x1≠x2，记 y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：(1)y＝f(x)在 I 上是增函数的充要条件是＞0 在 I 上恒成立；(2)y＝f(x)在 I 上是减函数的充要条件是＜0 在 I 上恒成立．当 x1≠x2时，称＝为函数 y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称 Δx 为自变量的改变量，Δy 为因变量的改变量．[拓展] (1)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若 Δx＝x2－x1，则 Δy＝f(x2)－f(x1)；若 Δx＝x1－x2，则 Δy＝f(x1)－f(x2).(2)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为 0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为 0，但 f(x)＝x2在[－2，2]上的图像先下降后上升，值域是[0，4].(3)平均变化率的几何意义是函数 y＝f(x)图像上的两点 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率．(4)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”．只有当 Δx＝x2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”．3．平均变化率的物理意义(1)把位移 s 看成时间 t 的函数 s＝s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平...
