4.5 函数的应用(二)4.5.1 函数的零点与方程的解学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点)1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.路边有一条河，小明从 A 点走到了 B 点．观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定渡过河？(1) (2)将这个实际问题抽象成数学模型．问题：如图，若将河看成 x 轴，建立平面直角坐标系，A，B 是人的起点和终点，则点A，B 应该满足什么条件就能说明小明的行程一定渡过河？提示：只要满足点 A 与点 B 分布在 x 轴的两侧即可，即图中 A 处的函数值与 B 处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识．1．函数的零点对于函数 y＝f(x)，把使 f ( x ) ＝ 0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．思考 1：函数的零点是函数与 x 轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与 x 轴交点的横坐标．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程 f(x)＝0 有实数解⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有公共点⇔函数 y＝f(x)有零点．3．函数零点存在定理如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f ( a ) f ( b )<0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个c 也就是方程 f(x)＝0 的解．思考 2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；② f(a)·f(b)<0.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)f(x)＝x2的零点是 0.( )(2)若 f(a)·f(b)>0，则 f(x)在[a，b]内无零点．( )(3)若 f(x)在[a，b]上为单调函数，且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．( )(4)若 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则 f(a)·f(b)<0.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )A B C DD [结合函数零点的定义可知选项 D 没有零点．]3．函数 y＝2x－1 的零点是( )A. B． C. D．2A [由 2x－1＝0 得 x＝.]4．函数 f(x)＝3x－4 的零点所在区间为( )A．(0,1) B．(－1,0) C．(2,3) D．(1,2)D [由 f(－1)＝－<0，f...
