2.3．2 方差与标准差平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，某地区的统计报表显示，此地区的年平均家庭收入是 10 万元，给人的印象是这个地区的家庭收入普遍较高.但是，如果这个平均数是从 200 户贫困家庭和 20 户极富有的家庭收入计算出来的，那么，它就既不能代表贫困户家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入.因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的.因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态.案例探究 甲、乙两班学生各 50 人，其语文平均成绩都是 80 分，但甲班最高成绩 98 分，最低 42分，而乙班最高成绩 86 分，最低 60 分.初步看出，两班语文成绩是不一样的，甲班学生的语文成绩个别差异程度大、水平参差不齐；而乙班学生的语文成绩差异程度小，语文水平整齐度大些. 如果你是老师，你应当如何对这两个班的成绩作出评价呢？ 分析：我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差，由数据可知甲班的极差较大 ，数据点较分散，乙班的极差较小，数据点分布较集中，这说明乙班成绩比甲班稳定，运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论.我们还可以考虑每一个学生的成绩与平均成绩的离差，离差越小，稳定性就越高.结合上节有关离差的讨论，可用每个同学的成绩与平均成绩的差的平方和表示.由于两组数据的容量可能不同，因此应将上述平方和除以数据的个数，我们把由此所得的值称为这组数据的方差（variance）. 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差开方后的值称为这组数据的标准差（standard deviation）.标准差也可以刻画数据的稳定程度. 一般地，设一组数据 x1，x2，…，xn，其平均数为 x，则称 S2=为这个样本的方差，其算术平方根 S=（*） 为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差. 根据上述方差计算公式可算出甲、乙两个班样本的方差，从而比较哪个班成绩好些. 计算标准差时，首先要计算数据的平均数，接着要计算各数据与平均数之间的离差平方，即（xi-）2，最后由公式（*）计算标准差 S. 例如，4 名儿童的身高分别是 110 厘米，100 厘米，120 厘米和 150 厘米，若求 4 名儿童身高数据的标准差时，其基本步骤如下： （1）求平均数：==120（厘米） （2）求离差平方和： ∑（xi-）2=（110―120）2+...
